《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

1. [湖南常德2023高二阶段检测]已知两个随机变量X,Y，其中X~B(8,$\frac{1}{2}$)，Y~N($\mu$,$\sigma^{2}$). 若$\mu$=E(X)，P(Y＜0)=0.2，则P(4≤Y≤8)= （ ）
A. 0.2
B. 0.3
C. 0.4
D. 0.5

答案： B 【解析】由 $X\sim B\left(8,\frac{1}{2}\right)$，得 $E(X)=8\times\frac{1}{2}=4$，故 $\mu = E(X)=4$，所以 $Y\sim N(4,\sigma^2)$。又因为 $P(Y ＜ 0)=0.2$，所以 $P(4\leqslant Y\leqslant 8)=\frac{1 - 0.2\times2}{2}=0.3$。故选 B。

2. [四川成都2024高二期末]已知随机变量X~N($\mu$,$\sigma^{2}$)，Y~B(9,p)，且P(X≥3)=$\frac{1}{2}$，E(X)=E(Y)，则p= （ ）
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$

答案： C 【解析】由于 $X$ 服从正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$，且 $P(X\geqslant 3)=\frac{1}{2}$，故其均值 $E(X)=\mu = 3$。而 $Y$ 服从二项分布 $B(9,p)$，故 $E(Y)=9p$。由 $E(X)=E(Y)$，得 $3 = 9p$，即 $p=\frac{1}{3}$。故选 C。

3. 某地区某次考试数学成绩X服从正态分布N(90,$\sigma^{2}$)，且P(X＜70)=0.2. 从该地区参加这次考试的学生中随机抽取10名学生，数学成绩在[70,110]的人数记作随机变量Y，则Y的方差为 （ ）
A. 2
B. 2.1
C. 2.4
D. 3

答案： C 【解析】由正态分布知，数学成绩在 $[70,110]$ 的概率为 $2\times(0.5 - 0.2)=0.6$，所以随机抽取的 10 名学生中数学成绩在 $[70,110]$ 的人数服从二项分布 $B(10,0.6)$，所以所求方差为 $10\times0.6\times(1 - 0.6)=2.4$，故选 C。

4. (多选) [吉林长春十一高中2023高二第一学期考试]假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布N(500,$5^{2}$)（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为x g，随机变量x的概率分布密度函数为$\varphi(x)=\frac{1}{10\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - 1000)^{2}}{200}}$，其中x$\in$R，则 （ ）
附：随机变量$\xi$~N($\mu$,$\sigma^{2}$)，则P($\mu-\sigma\leq\xi\leq\mu+\sigma$)≈0.682 7，P($\mu - 2\sigma\leq\xi\leq\mu+2\sigma$)≈0.954 5，P($\mu - 3\sigma\leq\xi\leq\mu+3\sigma$)≈0.997 3.
A. 正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485 g的概率为0.135%
B. 生产线乙的食盐质量x~N(1 000,100$^{2}$)
C. 曲线$\varphi(x)$的峰值为$\frac{1}{10\sqrt{2\pi}}$
D. 生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515 g，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的

答案： ACD 【解析】对于 A，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为 $X$，则 $X\sim N(500,5^2)$，其中 $\mu = 500$，$\sigma = 5$，则 $P(X ＜ 485)=P(X ＜ \mu - 3\sigma)\approx\frac{1 - 0.9973}{2}=0.00135 = 0.135\%$，A 正确；
对于 B，随机变量 $x$ 的概率分布密度函数 $\varphi(x)=\frac{1}{10\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - 1000)^2}{200}}$，则 $\mu = 1000$，$\sigma = 10$，因此生产线乙的食盐质量 $x\sim N(1000,10^2)$，B 错误；
对于 C，因为 $-\frac{(x - 1000)^2}{200}\leqslant0$，当且仅当 $x = 1000$ 时取等号，因此当 $x = 1000$ 时，$\varphi(x)_{\max}=\frac{1}{10\sqrt{2\pi}}$，C 正确；
对于 D，$P(X ＞ 515)=P(X ＞ \mu+3\sigma)\approx\frac{1 - 0.9973}{2}=0.00135 = 0.135\%$，说明生产线甲上抽到质量大于 515g 食盐的可能性很低，则随机抽取两包其质量均大于 515g，说明判断出该生产线出现异常是合理的，D 正确。故选 ACD。

5. [安徽六安二中2024高二期末]已知某种零件的尺寸(单位：mm)在区间[5.12,5.28]内的为合格品. 某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分布N(5.2,$\sigma^{2}$)，且P(X＞5.28)=0.08，则估计该企业生产的1 000个零件中合格品的个数为________.

答案： 840 【解析】$\because X\sim N(5.2,\sigma^2)$，且 $P(X ＞ 5.28)=0.08$，$\therefore P(5.12\leqslant X\leqslant 5.28)=1 - 2P(X ＞ 5.28)=1 - 2\times0.08 = 0.84$，$\therefore$ 估计该企业生产的 1000 个该种零件中合格品的个数为 $1000\times0.84 = 840$。
**规律方法** 对于正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$，已知直线 $x = \mu$ 是正态曲线的对称轴，因此解决正态分布问题的关键是利用对称轴 $x = \mu$ 确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断。

6. [重庆实验外国语2024高二月考]某学校组织学生参加知识竞赛，为了解该校学生的考试成绩，采用随机抽样的方法抽取600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中a的值.
(2)估计这600名学生成绩的中位数.
(3)由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩X近似服从正态分布N($\mu$,$\sigma^{2}$)，其中$\mu$为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)，$\sigma\approx9$，试用正态分布知识解决下列问题：
①若这次竞赛共有2.8万名学生参加，试估计竞赛成绩超过86.8分的人数(结果精确到个位)；
②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为Y，求随机变量Y的期望和方差.
附：若随机变量X服从正态分布N($\mu$,$\sigma^{2}$)，则P($\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma$)≈0.682 7，P($\mu - 2\sigma\leq X\leq\mu+2\sigma$)≈0.954 5，P($\mu - 3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma$)≈0.997 3.

答案： 【解】
（1）由频率分布直方图中条形图的面积所表示的频率之和为 1 得 $10\times(0.004 + 0.008 + 0.012 + a+0.026 + 0.032)=1$，解得 $a = 0.018$。
（2）由频率分布直方图，可知前 4 组的频率之和为 $10\times(0.004 + 0.008 + 0.012 + 0.026)=0.5$，所以估计 600 名学生成绩的中位数为 80。
（3）①由频率分布直方图，可利用区间中点值和频率来估计平均数 $\mu$，即 $\mu = 45\times0.04 + 55\times0.08 + 65\times0.12 + 75\times0.26 + 85\times0.32 + 95\times0.18 = 77.8$，所以 $X\sim N(77.8,9^2)$，则 $P(X ＞ 86.8)=P(X ＞ \mu+\sigma)=\frac{1 - P(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant\mu+\sigma)}{2}\approx\frac{1 - 0.6827}{2}=0.15865$，题中是把这个 2.8 万人看成一个总体，这里面每个人的成绩服从正态分布，为了便于计算，我们又可以把这个事件看成伯努利试验，每个人的成绩超过 86.8 分的概率约为 0.15865。所以 $X\sim B(28000,0.15865)$，此时 $E(X)=28000\times0.15865\approx4442$，即估计竞赛成绩超过 86.8 分的人数约为 4442。
②由①得 $X\sim N(77.8,9^2)$，则 $P(X ＞ 77.8)=\frac{1}{2}$，由于是从所有参赛的学生中随机抽取 10 人，则随机变量 $Y\sim B\left(10,\frac{1}{2}\right)$，所以 $E(Y)=10\times\frac{1}{2}=5$，$D(Y)=10\times\frac{1}{2}\times\left(1 - \frac{1}{2}\right)=\frac{5}{2}$。