《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

9. 某公司的一次招聘中，应聘者都要经过$A,B,C$三个独立项目的测试，如果通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用. 若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是$\frac{1}{2}$.
（1）求甲被录用的概率；
（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为$X$，求$X$的分布列.

答案： 【解】
（1）甲通过两个项目测试的概率为$C_{3}^{2}(\frac{1}{2})^{2}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$，通过三个项目测试的概率为$C_{3}^{3}(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}$，则甲被录用的概率为$\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$。
（2）因为甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是$\frac{1}{2}$，由（1）可知甲、乙、丙三人每个人被录用的概率都是$\frac{1}{2}$，所以$X\sim B(3,\frac{1}{2})$。所以$P(X = 0)=C_{3}^{0}(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8},P(X = 1)=C_{3}^{1}(\frac{1}{2})^{1}\times(\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{8}$，$P(X = 2)=C_{3}^{2}(\frac{1}{2})^{2}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{8},P(X = 3)=C_{3}^{3}(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}$。所以$X$的分布列为：
|$X$|0|1|2|3|
|----|----|----|----|----|
|$P$|$\frac{1}{8}$|$\frac{3}{8}$|$\frac{3}{8}$|$\frac{1}{8}$|

10. (多选)[吉林通化三校2024高二期中联考]若袋子中有3个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球5次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记5次取球的总分数为$X$，则（ ）
A. $X\sim B(5,\frac{3}{5})$
B. $P(X = 2)=\frac{29}{125}$
C. $X$的数学期望$E(X)=3$
D. $X$的方差$D(X)=\frac{6}{5}$

答案： ACD【解析】由题意知从袋子中有放回地随机取球5次，每次取到白球的概率为$\frac{3}{5}$，取到白球记1分，取到黑球的概率为$\frac{2}{5}$，取到黑球记0分，则记5次取球的总分数为$X$，即为5次取球取到白球的个数，
＞敲黑板：5次有放回地取球符合二项分布的定义。
则$X\sim B(5,\frac{3}{5})$，故A正确；$P(X = 2)=C_{5}^{2}(\frac{3}{5})^{2}\times(\frac{2}{5})^{3}=\frac{144}{625}$，故B错误；$X$的数学期望$E(X)=5\times\frac{3}{5}=3$，故C正确；$X$的方差$D(X)=5\times\frac{3}{5}\times(1 - \frac{3}{5})=\frac{6}{5}$，故D正确。故选ACD。

11. [江苏徐州2024高二期中]已知离散型随机变量$X$服从二项分布$X\sim B(n,p)$且$E(X)=2,D(X)=q$，则$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$的最小值为（ ）
A. 2
B. $\frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{9}{4}$
D. $\frac{3 - 2\sqrt{2}}{2}$

答案： B【解析】由$X\sim B(n,p),E(X)=2,D(X)=q$，得$\begin{cases}np = 2\\np(1 - p)=q\end{cases}$，则$p+\frac{q}{2}=1,p\gt0,q\gt0$，因此$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=(\frac{1}{p}+\frac{1}{q})(p+\frac{q}{2})=\frac{3}{2}+\frac{q}{2p}+\frac{p}{q}\geq\frac{3}{2}+2\sqrt{\frac{q}{2p}\cdot\frac{p}{q}}=\frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}$，当且仅当$\frac{q}{2p}=\frac{p}{q}$，即$q=\sqrt{2}p = 2\sqrt{2}-2$时取等号，所以$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$的最小值为$\frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}$。故选B。

12. [天津南开中学2024高二期末]在南开中学建校120周年即将到来之际，我校举办校史知识竞答活动，每班各选派两名同学代表共回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答. 甲、乙两位同学代表高二(1)班答题，假设每道题甲答对的概率为$\frac{1}{2}$，乙答对的概率为$\frac{2}{3}$，且每道题是否答对相互独立. 记高二(1)班答对题目的数量为随机变量$X$，则$X$的数学期望为________.

答案： $\frac{7}{3}$【解析】高二（1）班答对某道题的概率$P_{1}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}=\frac{7}{12}$，由题意知，$X$的可能取值为0，1，2，3，4，则$X\sim B(4,\frac{7}{12})$，所以$E(X)=4\times\frac{7}{12}=\frac{7}{3}$。

13. 已知两随机变量$X,Y$满足$X + Y = 8$，若$X\sim B(25,\frac{3}{5})$，则$E(Y + D(Y))=$________.

答案： -1【解析】由$X\sim B(25,\frac{3}{5})$，知随机变量$X$服从$n = 25,p=\frac{3}{5}$的二项分布，则均值$E(X)=np = 15$，方差$D(X)=np(1 - p)=6$。又$\because X + Y = 8,\therefore Y=-X + 8$，$\therefore E(Y)=E(8 - X)=-E(X)+8=-15 + 8=-7,D(Y)=D(8 - X)=D(X)=6$，$\therefore E(Y + D(Y))=E(Y)+D(Y)=-7 + 6=-1$。
＞敲黑板：$D(Y)$是一个常量，令$D(Y)=a,E(Y + D(Y))=E(Y + a)=E(Y)+a$。

14. 下列例子中随机变量$X$服从二项分布的个数为（ ）
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数$X$；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数$X$；
③从装有5个红球,5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数$X$；
④有一批产品共有$N$件，其中$M$件为次品，采用不放回抽取方法，$X$表示$n$次抽取中出现次品的件数.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： B【解析】①满足$n$重伯努利试验的条件，且$X$为某事件发生的次数，$X$服从二项分布；②$X$的取值是1，2，3，$\cdots$，$n$，$P(X = k)=0.9\times0.1^{k - 1}(k = 1,2,3,\cdots,n)$，显然不符合二项分布的定义，因此$X$不服从二项分布；③虽然是有放回地摸球，但随机变量$X$的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义；④$n$次试验是不独立的，因此$X$不服从二项分布。故选B。

15. 某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少有2天预报准确的概率是________.

答案： 0.896【解析】“至少有2天”包括“恰有2天”和“恰有3天”两种情况，其概率为$C_{3}^{2}\times0.8^{2}\times0.2 + C_{3}^{3}\times0.8^{3}=0.896$。所以至少有2天预报准确的概率为0.896。