《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

1. 已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X＞1)=0.5，则实数a的值为 （ ）
A. 1
B. $\sqrt{3}$
C. 2
D. 4

答案： A 【解析】
∵ 随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(a,4)$，$\therefore P(X ＞ a)=0.5$。由 $P(X ＞ 1)=0.5$，可知 $a = 1$。故选 A。

2. [山东泰安2024高二期末]设X~N($\mu_{1}$,$\sigma_{1}^{2}$)，Y~N($\mu_{2}$,$\sigma_{2}^{2}$)，这两个变量的正态曲线如图所示，下列说法正确的是 （ ）

A. P(X≤$\mu_{1}$)≥P(X≤$\mu_{2}$)
B. P(Y≥$\sigma_{1}$)≥P(Y≤$\sigma_{2}$)
C. P(Y≥-2)≤P(X≥-2)
D. 若t＜0，则P(Y≤t)≤P(X≤t)

答案：
D 【解析】如图，

对于 A，由图得 $P(X\leqslant\mu_1)\leqslant P(X\leqslant\mu_2)$，故 A 错误；
对于 B，由已知可得 $\sigma_1＞\sigma_2$，若 $\sigma_1＞\sigma_2＞\mu_2$，则 $P(Y\geqslant\sigma_1)＜P(Y\leqslant\sigma_2)$，故 B 错误；
对于 C，由正态分布在区间上的几何意义得，$P(Y\geqslant - 2)＞P(X\geqslant - 2)$，故 C 错误；
对于 D，由正态分布在区间上的几何意义得，若 $t ＜ 0$，则 $P(Y\leqslant t)\leqslant P(X\leqslant t)$，故 D 正确。故选 D。
**规律方法**
（1）当 $\sigma$ 一定时，曲线的位置由 $\mu$ 确定，曲线随着 $\mu$ 的变化而沿 $x$ 轴平移。
（2）当 $\mu$ 一定时，曲线的形状由 $\sigma$ 确定。$\sigma$ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；$\sigma$ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。

3. [安徽池州2024高二月考]已知随机变量$\xi$~N(10,$\sigma^{2}$)，2P(8＜$\xi$＜10)=3P($\xi$＞12)，则P($\xi$＜8)= （ ）
A. 0.5
B. 0.4
C. 0.3
D. 0.2

答案： D 【解析】因为随机变量 $\xi\sim N(10,\sigma^2)$，所以 $P(8 ＜ \xi ＜ 10)=P(10 ＜ \xi ＜ 12)$，所以 $2P(8 ＜ \xi ＜ 10)=3P(\xi ＞ 12)=3\left[\frac{1}{2}-P(10 ＜ \xi ＜ 12)\right]=\frac{3}{2}-3P(8 ＜ \xi ＜ 10)$，解得 $P(8 ＜ \xi ＜ 10)=0.3$，故 $P(\xi ＜ 8)=P(\xi ＜ 10)-P(8 ＜ \xi ＜ 10)=0.5 - 0.3 = 0.2$。故选 D。

4. 已知随机变量X~N(7,4)，且P(5＜X＜9)=a，P(3＜X＜11)=b，则P(3＜X＜9)= （ ）
A. $\frac{b - a}{2}$
B. $\frac{b + a}{2}$
C. $\frac{2b - a}{2}$
D. $\frac{2a - b}{2}$

答案： B 【解析】由正态曲线的对称性知，$P(3 ＜ X ＜ 9)=\frac{P(3 ＜ X ＜ 11)}{2}+\frac{P(5 ＜ X ＜ 9)}{2}=\frac{b}{2}+\frac{a}{2}=\frac{a + b}{2}$，故选 B。

5. (多选) 如图是正态分布N(0,1)的正态曲线，下面4个式子中，等于图中阴影部分面积的式子有 （ ）
注：$\varPhi(a)=P(X\leq a)$.

A. $\frac{1}{2}-\varPhi(-a)$
B. $\varPhi(1 - a)$
C. $\varPhi(a)-\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{2}[\varPhi(a)-\varPhi(-a)]$

答案： ACD 【解析】$\because\varPhi(-a)=P(X\leqslant - a)$，$\therefore$ 图中阴影部分的面积为 $\frac{1}{2}-P(X\leqslant - a)=\frac{1}{2}-\varPhi(-a)$。再根据正态曲线的对称性可知图中阴影部分的面积为 $P(X\leqslant a)-\frac{1}{2}=\varPhi(a)-\frac{1}{2}$。又 $P(-a\leqslant X\leqslant a)=\varPhi(a)-\varPhi(-a)$，故阴影部分的面积为 $\frac{1}{2}[\varPhi(a)-\varPhi(-a)]$。故选 ACD。

6. 某学校高三年级总共有800名学生，学校对高三年级的学生进行一次体能测试. 这次体能测试满分为100分，已知测试成绩X服从正态分布N(70,$\sigma^{2}$). 若X在[60,70]内的概率为0.2，则该学校高三年级学生体能测试成绩在80分以上的人数约为 （ ）
A. 160
B. 200
C. 240
D. 320

答案： C 【解析】因为测试成绩服从正态分布 $N(70,\sigma^2)$，所以 $P(70\leqslant X\leqslant 80)=P(60\leqslant X\leqslant 70)=0.2$，则 $P(X ＞ 80)=0.5 - 0.2 = 0.3$，即该学校高三年级学生体能测试成绩在 80 分以上的人数约为 $0.3\times800 = 240$。故选 C。

7. [黑龙江哈三中2024高二期末]根据中华人民共和国国家标准(GB2890 - 2009)，$P_{1}$级防毒面具中综合过滤件的滤烟效率需要达到不低于95%的标准，某防护用品生产厂生产的综合过滤件的滤烟效率服从正态分布N(0.97,8.1×$10^{-5}$).
(1)某质检员随机从生产线抽检10件产品，测量出一只产品的滤烟效率为93.0%. 他立即要求停止生产，检查设备和工人工作状况. 请你依据所学知识，判断该质检员要求是否合理，并简要说明判断的依据.
(2)该工厂将滤烟效率达到95.2%以上的综合过滤件定义为“优质品”.
①求该生产线生产的一件综合过滤件为“优质品”的概率；
②该企业生产了1 000件这种综合过滤件，且每件产品相互独立，记X为这1 000件产品中“优质品”的件数，当X为多少件时可能性最大（即概率最大）？
参考数据：P($\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma$)≈0.682 7，P($\mu - 2\sigma\leq X\leq\mu+2\sigma$)≈0.954 5，P($\mu - 3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma$)≈0.997 3.

答案： 【解】
（1）合理。由已知过滤件的滤烟效率服从正态分布 $N(0.97,8.1\times10^{-5})$，$\sigma^2 = 8.1\times10^{-5}=(9\times10^{-3})^2\Rightarrow\sigma = 9\times10^{-3}=0.009$，则 $0.93＜0.97 - 0.009\times3 = 0.943$，由 $3\sigma$ 原则可知，生产的产品中滤烟效率在 $3\sigma$ 以外的值，发生的可能性很小，一旦发生，应停止生产。
（2）①令 $Y$ 为“综合过滤件滤烟效率”，则一件过滤件为“优质品”的概率为 $P(Y ＞ 0.952)=P(Y ＞ 0.97 - 2\times0.009)=1-\left[\frac{1}{2}-\frac{P(0.97 - 2\sigma\leqslant Y\leqslant 0.97+2\sigma)}{2}\right]=0.97725$。
②依题意得 $X\sim B(1000,0.97725)$，记 $n = 1000$，$p = 0.97725$，则 $P(X = k)=C_{1000}^kp^k(1 - p)^{1000 - k}(k = 0,1,2,\cdots,1000)$，假设当 $X = k$ 时，可能性最大，则 $\begin{cases}C_{1000}^kp^k(1 - p)^{1000 - k}\geqslant C_{1000}^{k - 1}p^{k - 1}(1 - p)^{1001 - k}\\C_{1000}^kp^k(1 - p)^{1000 - k}\geqslant C_{1000}^{k + 1}p^{k + 1}(1 - p)^{999 - k}\end{cases}$，即 $\begin{cases}\frac{p}{k}\geqslant\frac{1 - p}{1001 - k}\\\frac{1 - p}{1000 - k}\geqslant\frac{p}{k + 1}\end{cases}$，所以 $1001p - 1\leqslant k\leqslant 1001p$，即 $977.22725\leqslant k\leqslant 978.22725$，又 $k\in N^*$，所以 $k = 978$，所以当 $X$ 为 978 件时可能性最大。