《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

6. [重庆四区2024高二期末联考]从石墨中通过化学气相沉积法分离出石墨烯，升华后附着在材料上再结晶制成石墨烯发热膜. 石墨烯发热膜轻薄、保暖，广泛应用于冬装衣服. 现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨烯各做了100次再结晶试验，得到如图所示的等高堆积条形图.

(1)根据等高堆积条形图填写如下列联表，并依据$\alpha = 0.005$的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关.

(2)研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：环节一制作透明基底及UV胶层；环节二制作石墨烯层；环节三制作表面封装层. 第一、二环节生产合格的概率均为$\frac{2}{3}$，第三环节生产合格的概率为$\frac{3}{5}$，且各生产环节相互独立. 已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为0.4万元，其余环节的修复费用均为0.2万元.
①记生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为$X$万元，求$X$的分布列及数学期望.（最后结果保留一位小数）
②试问如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？
附：$\chi^{2}=\frac{n(ad - bc)^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}$，其中$n = a + b + c + d$.

答案： 【解】
(1)完成列联表如下：
| | A材料 | B材料 | 合计 |
| --- | --- | --- | --- |
| 试验成功(单位:次) | 80 | 60 | 140 |
| 试验失败(单位:次) | 20 | 40 | 60 |
| 合计 | 100 | 100 | 200 |
零假设为$H_{0}$：试验成功与否与材料无关，则$\chi^{2}=\frac{200\times(80\times40 - 60\times20)^{2}}{100\times100\times140\times60}=\frac{200}{21}\approx9.524＞7.879$，依据$\alpha = 0.005$的独立性检验，推断$H_{0}$不成立，即认为试验成功与否与材料有关。
(2)①$X$的可能取值为$0,0.2,0.4,0.6,0.8$，
$P(X = 0)=C_{2}^{2}(\frac{2}{3})^{2}\times\frac{3}{5}=\frac{4}{15}$，
$P(X = 0.2)=C_{2}^{1}\times\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{5}=\frac{4}{15}$，
$P(X = 0.4)=C_{2}^{2}(\frac{2}{3})^{2}\times\frac{2}{5}+C_{2}^{0}(\frac{1}{3})^{2}\times\frac{3}{5}=\frac{11}{45}$，
$P(X = 0.6)=C_{2}^{1}\times\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}\times\frac{2}{5}=\frac{8}{45}$，
$P(X = 0.8)=C_{2}^{0}(\frac{1}{3})^{2}\times\frac{2}{5}=\frac{2}{45}$，
则$X$的分布列为：
| $X$ | 0 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{4}{15}$ | $\frac{4}{15}$ | $\frac{11}{45}$ | $\frac{8}{45}$ | $\frac{2}{45}$ |
$E(X)=0\times\frac{4}{15}+0.2\times\frac{4}{15}+0.4\times\frac{11}{45}+0.6\times\frac{8}{45}+0.8\times\frac{2}{45}\approx0.3$。
②$1 + 1+0.3 = 2.3$，故定价至少为$2.3$万元/吨，才能实现预期的利润目标。