《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

5. [浙江2021·15,6分]袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为\frac{1}{6},一红一黄的概率为\frac{1}{3},则m - n = ________,E(ξ)=________.

答案： 1 $\frac{8}{9}$ 【解析】取出的两个球都是红球的概率为$\frac{C_{4}^{2}}{C_{4 + m + n}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，即$C_{4 + m + n}^{2}$=36，所以4 + m + n = 9。
取出的两个球一红一黄的概率为$\frac{C_{4}^{1}C_{m}^{1}}{C_{4 + m + n}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，即12m=$C_{4 + m + n}^{2}$=36，
所以m = 3，n = 2，所以m - n = 3 - 2 = 1。
取出的红球数ξ所有可能的取值为0，1，2，
则P(ξ = 0)=$\frac{C_{5}^{2}}{C_{9}^{2}}$=$\frac{10}{36}$=$\frac{5}{18}$，P(ξ = 1)=$\frac{C_{4}^{1}C_{5}^{1}}{C_{9}^{2}}$=$\frac{20}{36}$=$\frac{5}{9}$，P(ξ = 2)=$\frac{C_{4}^{2}}{C_{9}^{2}}$=$\frac{6}{36}$=$\frac{1}{6}$，所以E(ξ)=0×$\frac{5}{18}$+1×$\frac{5}{9}$+2×$\frac{1}{6}$=$\frac{8}{9}$。

6. [北京2024·18,13分]某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况,从合同保险期限届满的保单中随机抽取1 000份,记录并整理这些保单的索赔情况,获得数据如下表：
|索赔次数|0|1|2|3|4|
|----|----|----|----|----|----|
|保单份数|800|100|60|30|10|
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时,保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时,保险公司赔偿0.6万元.
假设不同保单的索赔次数相互独立,用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
(ⅰ)记X为一份保单的毛利润,估计X的数学期望E(X)；
(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(ⅰ)中E(X)估计值的大小. (结论不要求证明)

答案： 【解】
(1)设一份保单索赔次数为Y，则
P(Y≥2)=P(Y = 2)+P(Y = 3)+P(Y = 4)=$\frac{60}{1000}$+$\frac{30}{1000}$+$\frac{10}{1000}$=$\frac{1}{10}$，
∴一份保单索赔次数不少于2的概率为$\frac{1}{10}$。
(2)(ⅰ)X的可能取值为0.4， - 0.4， - 1.2， - 2， - 2.6，则
P(X = 0.4)=$\frac{800}{1000}$=$\frac{4}{5}$，
P(X = - 0.4)=$\frac{100}{1000}$=$\frac{1}{10}$，
P(X = - 1.2)=$\frac{60}{1000}$=$\frac{3}{50}$，
P(X = - 2)=$\frac{30}{1000}$=$\frac{3}{100}$，
P(X = - 2.6)=$\frac{10}{1000}$=$\frac{1}{100}$，
∴E(X)=0.4×$\frac{4}{5}$-0.4×$\frac{1}{10}$-1.2×$\frac{3}{50}$-2×$\frac{3}{100}$-2.6×$\frac{1}{100}$
=0.32 - 0.04 - 0.072 - 0.06 - 0.026
=0.122。
(ⅱ)保单的保费调整后，无索赔保单的保费为0.384万元，
有索赔保单的保费为0.48万元.
毛利润X的可能取值为0.384， - 0.32， - 1.12， - 1.92， - 2.52，
∴此时E(X)=0.384×$\frac{4}{5}$-0.32×$\frac{1}{10}$-1.12×$\frac{3}{50}$-1.92×$\frac{3}{100}$-2.52×$\frac{1}{100}$=0.3072 - 0.032 - 0.0672 - 0.0576 - 0.0252 = 0.1252，
∴调整后的保单毛利润的数学期望的估计值大于调整前的保单毛利润数学期望的估计值。

7. [北京2022·18,13分]在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位：m)：
甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；
乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；
丙：9.85,9.65,9.20,9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望E(X)；
(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大? (结论不要求证明)

答案： 【解】
(1)甲比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的有4次，用频率估计概率得$P_{甲}$=$\frac{4}{10}$=0.4，即估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为0.4。
(2)用频率估计概率，得乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率$P_{乙}$=$\frac{3}{6}$=0.5，
丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率$P_{丙}$=$\frac{2}{4}$=0.5。
由题意得X的可能取值为0，1，2，3，
则P(X = 0)=0.6×0.5×0.5 = 0.15，
P(X = 1)=0.4×0.5×0.5 + 0.6×0.5×0.5 + 0.6×0.5×0.5 = 0.4，
P(X = 2)=0.4×0.5×0.5 + 0.4×0.5×0.5 + 0.6×0.5×0.5 = 0.35，
P(X = 3)=0.4×0.5×0.5 = 0.1，
则E(X)=0×0.15 + 1×0.4 + 2×0.35 + 3×0.1 = 1.4。
(3)丙获得冠军的概率估计值最大. 丙投到过3人成绩中的最大值9.85，比甲、乙的最大值都要大，若比赛中发挥出好状态，丙实力最强。