《2026年新高考5年真题物理江苏专版》

13. [2025·广西卷,14T,11分] 在真空中，一个电荷量为$-q$、质量为$m$的试探电荷绕电荷量为$+Q$的点电荷做椭圆轨道运动，如图甲，$O'$为椭圆中心，$O'A$为半长轴，长度为$a$，$O'B$为半短轴，点电荷处于椭圆的焦点$F$处，焦距为$c$。图乙是$v^2 - \frac{1}{r}$的关系图，其中$v$为该试探电荷运动速率，$r$为该试探电荷到点电荷的距离。距离点电荷$r$处的电势$\varphi = \frac{kQ}{r}$，其中$k$为静电力常量。重力和万有引力忽略不计。

（1）求$B$点的电势。
（2）求该试探电荷从$A$点运动到$B$点电场力所做的功。
（3）通过推理论证该试探电荷在运动过程中动能和电势能之和是否守恒。若不守恒，说明理由；若守恒，求出该试探电荷在运动过程中动能和电势能之和。

答案： 13.参考答案
(1)$\frac{kQ}{a}$
(2)$-\frac{kQqc}{a(2a - c)}$
(3)见解析
命题意图本题考查点电荷形成的电场中的电势、电场力做功和$v^{2}-\frac{1}{r}$图像，考查考生的理解能力、推理能力和分析综合能力。
解题思路
(1)根据椭圆的性质可知，B点到F点的距离为$r_{BF}=a$，则B点的电势$\varphi_{B}=\frac{kQ}{r_{BF}}=\frac{kQ}{a}$。
(2)A点到F点的距离为$r_{AF}=a - \frac{c}{2}$，则A点的电势$\varphi_{A}=\frac{kQ}{r_{AF}}=\frac{2kQ}{2a - c}$，根据电场力做功与电势能变化量的关系可知$W = -\Delta E_{p}=E_{pA}-E_{pB}$，又$E_{pA}=-q\varphi_{A}$，$E_{pB}=-q\varphi_{B}$，联立解得$W = -\frac{kQqc}{a(2a - c)}$。
(3)设题图乙中$v^{2}-\frac{1}{r}$的图线斜率为$k_{0}$，则有$v^{2}=k_{0}(\frac{1}{r}-\frac{1}{2a})$。试探电荷在运动过程中动能与电势能之和$E_{总}=-\frac{kQq}{r}+\frac{1}{2}mv^{2}$，变形得$v^{2}=\frac{2kQq}{m} · \frac{1}{r}+\frac{2E_{总}}{m}$。对比题图乙分析可知$k_{0}=\frac{2kQq}{m}=-\frac{k_{0}}{2a}$，联立解得$E_{总}=-\frac{kQq}{2a}$，由于$E_{总}$为一定值，则试探电荷在运动过程中动能与电势能之和守恒。