《2026年新高考5年真题物理江苏专版》

8. [2025·湖北卷，15T，18分] 如图所示，一足够长的平直木板放置在水平地面上，木板上有$3n$($n$是大于$1$的正整数)个质量均为$m$的相同小滑块，从左向右依次编号为$1$、$2$、$·s$、$3n$，木板的质量为$nm$。相邻滑块间的距离均为$L$，木板与地面之间的动摩擦因数为$\mu$，滑块与木板间的动摩擦因数为$2\mu$。初始时木板和所有滑块均处于静止状态。现给第$1$个滑块一个水平向右的初速度，大小为$\sqrt{\beta\mu gL}$ ($\beta$为足够大常数，$g$为重力加速度大小)。滑块间的每次碰撞时间极短，碰后滑块均会粘在一起继续运动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1) 求第$1$个滑块与第$2$个滑块碰撞前瞬间，第$1$个滑块的速度大小。
(2) 记木板滑动前第$j$个滑块开始滑动时的速度为$v_j$，第$j + 1$个滑块开始滑动时的速度为$v_{j + 1}$。用已知量和$v_j$表示$v_{j + 1}$。
(3) 若木板开始滑动后，滑块间恰好不再相碰，求$\beta$的值。
提示：$1^2 + 2^2 + ·s + k^2 = \frac{1}{6}k(k + 1)(2k + 1)$。

答案： 8.参考答案
(1)$\sqrt{(β - 4)μg L}$
(2)$\frac{j}{j + 1}$$\sqrt{v_j² - 4μg L}$
(3)$\frac{4n(2n + 1)(4n + 1)}{3}$ + $\frac{8n(2n + 1)²}{2n - 1}$
命题意图本题考查动能定理、动量守恒定律、牛顿第二定律和运动学公式，考查考生的推理能力、分析综合能力和应用数学处理物理问题的能力。
解题思路
(1)给第1个滑块一个水平向右的初速度，滑块相对木板向右运动，滑块与木板间的摩擦力为滑动摩擦力，大小为Fₙ = 2μmg，由于最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则木板与地面间的最大静摩擦力为Fₘₘ = μ(nm + 3nm)g = 4nμmg，又n是大于1的正整数，所以Fₘₘ ＞ Fₙ，则第1个滑块与第2个滑块碰撞前，木板处于静止状态。第1个滑块从开始运动到与第2个滑块碰撞前瞬间的过程，由动能定理有 - 2μmgL = $\frac{1}{2}$mv₁'² - $\frac{1}{2}$mv²，其中v₁ = $\sqrt{βμg L}$，解得第1个滑块与第2个滑块碰撞前瞬间，第1个滑块的速度大小v₁' = $\sqrt{(β - 4)μg L}$。
(2)木板滑动前，第j个滑块从开始运动到与第j + 1个滑块碰撞前瞬间的过程，由动能定理有 - 2μjmgL = $\frac{1}{2}$jmv_j'² - $\frac{1}{2}$jmv_j²，前j个滑块整体与第j + 1个滑块碰撞的过程，由动量守恒定律有jmv_j' = (j + 1)mv_j₊₁，联立解得v_j₊₁ = $\frac{j}{j + 1}$$\sqrt{v_j² - 4μg L}$。
(3)设第k个滑块开始运动时木板恰好不滑动，则对木板，由平衡条件有2μkmg = 4μnmg，解得k = 2n，所以第2n + 1个滑块开始运动时，木板开始滑动。设第2n + 1个滑块开始运动时的速度大小为v_₂ₙ₊₁，则对前2n + 1个滑块，由牛顿第二定律有2μ(2n + 1)mg = (2n + 1)ma₁，对木板和其余滑块组成的整体，由牛顿第二定律有2μ(2n + 1)mg - μ×4nmg = (2n - 1)ma₂，滑块间恰好不再相碰，则由运动学公式有v_₂ₙ₊₁t - $\frac{1}{2}$a₁t² - $\frac{1}{2}$a₂t² = L，v_₂ₙ₊₁ - a₁t = a₂t，联立解得v_₂ₙ₊₁² = $\frac{8n}{2n - 1}$μg L。
由
(2)问分析可知v_₂ₙ₊₁² = ($\frac{2n}{2n + 1}$)²(v_₂ₙ₋₁² - 4μg L)，v_₂ₙ² = ($\frac{2n - 1}{2n}$)²(v_₂ₙ₋₁² - 4μg L)，依次类推可得v_₂ₙ₊₁² = ($\frac{1}{2n + 1}$)²v₁² - 4μg L[($\frac{2n}{2n + 1}$)² + ($\frac{2n - 1}{2n + 1}$)² + … + ($\frac{1}{2n + 1}$)²] = ($\frac{1}{2n + 1}$)²βμg L - $\frac{4n(4n + 1)}{3(2n + 1)}$μg L，即$\frac{8n}{2n - 1}$μg L = ($\frac{1}{2n + 1}$)²βμg L - $\frac{4n(4n + 1)}{3(2n + 1)}$μg L，解得β = $\frac{4n(4n + 1)(2n + 1)}{3}$ + $\frac{8n(2n + 1)²}{2n - 1}$。