《2026年新高考5年真题物理江苏专版》

15. （16分）某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示。矩形ABCD区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化，AB边长为12d，BC边长为8d。质量为m、电荷量为+q的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为Eₖ，入射角为θ，在纸面内运动。不计粒子重力及粒子间的相互作用力。
（1）当θ=θ₀时，若粒子能从CD边射出，求该粒子通过电场的时间t；
（2）当Eₖ=4qEd时，若粒子从CD边射出电场时与轴线OO'的距离小于d，求入射角θ的范围；
（3）当Eₖ=8/3qEd，粒子在θ为-π/2~π/2范围内均匀射入电场时，求从CD边出射的粒子与入射粒子的数量之比N:N₀。

答案：
15.参考答案
(1)$\frac{8d}{\cos \theta_0} \sqrt{\frac{m}{2E_k}}$
(2)$-30° ＜ \theta ＜ 30°$
(3)1:2
命题意图 本题考查带电粒子在电场中的运动，考查考生的分析综合能力和应用数学处理物理问题的能力。
解题思路
(1)粒子所受电场力在竖直方向上，粒子在水平方向上做匀速直线运动，速度分解如图甲所示。

粒子在水平方向的速度为$v_x = v \cos \theta_0$，
根据$E_k = \frac{1}{2}mv^2$可知$v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$，
则该粒子通过电场的时间$t = \frac{8d}{v_x} = \frac{8d}{\cos \theta_0} \sqrt{\frac{m}{2E_k}}$。
(2)粒子进入电场时的初动能$E_k = 4qEd = \frac{1}{2}mv_0^2$。
粒子进入电场后只有电场力做功，根据题意可知粒子最终的运动空间如图乙所示。

若粒子从$OO'$上部分离开$CD$边，则电场力做负功，根据动能定理可知$-qEx = E_{k1} - E_k$，
其中$E_{k1} = \frac{1}{2}m(v_{y1}^2 + v_{x1}^2)$，$E_k = \frac{1}{2}m(v_{y0}^2 + v_{x0}^2)$，
粒子在水平方向上做匀速直线运动，所以$v_{x0} = v_{x1}$，
竖直方向上$v_{y0} = v_0 \sin \theta_1$，
则动能定理的方程可表示为$-qEx = \frac{1}{2}mv_{y1}^2 - \frac{1}{2}mv_{y0}^2 = \frac{1}{2}mv_{y1}^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 \sin^2 \theta_1$，
当$v_{y1} = 0$时，$x$取到最大值，
即$-qEx_m = - \frac{1}{2}mv_0^2 \sin^2 \theta_1$，
解得粒子在竖直方向上的最大位移为$x_m = 4d \sin^2 \theta_1$。
根据题意可知$x_m ＜ d$，则$\sin \theta_1 ＜ \frac{1}{2}$，
解得$\theta_1 ＜ 30°$，
粒子在$OO'$上、下部分运动呈现对称性，所以入射角的范围为$-30° ＜ \theta ＜ 30°$。
(3)粒子在水平方向做匀速直线运动，从$CD$边射出时，粒子穿过电场所用的时间为$t' = \frac{\sqrt{12md}}{qE}$。
当粒子恰好从$D$点射出时，由于粒子在电场方向上反复做加速度大小相等的减速运动、加速运动，如此循环3次，故粒子在$OO'$上方$d$、$3d$、$5d$处沿电场线方向的速度大小相同，在$OO'$上方$2d$、$4d$、$6d$处沿电场线方向的速度大小也相同，则可知粒子在每一段电场中的运动时间均相等，设为$t_0$，可得$t_0 = \frac{1}{6}t'$。
在第一段电场中，竖直方向上有$d = v_0' \sin \theta_{2m} × t_0 - \frac{1}{2} × \frac{qE}{m} × t_0^2$，
又$E_k = \frac{8}{3}qEd = \frac{1}{2}mv_0'^2$，
联立可得$\frac{4}{3} × \frac{\sin \theta_{2m}}{\cos \theta_{2m}} - \frac{1}{6\cos^2 \theta_{2m}} - 1 = 0$，
即$\tan^2 \theta_{2m} - 8\tan \theta_{2m} + 7 = 0$，
解得$\tan \theta_{2m} = 1$或$\tan \theta_{2m} = 7$（舍去），
故$\theta_{2m} = 45°$，
则从$CD$边射出的粒子与入射粒子的数量之比$\frac{N}{N_0} = \frac{45° × 2}{90° × 2} = \frac{1}{2}$。