《2026年新高考5年真题物理江苏专版》

15. (16分) 如图1所示,回旋加速器的圆形匀强磁场区域以$O$点为圆心,磁感应强度大小为$B$,加速电压的大小为$U$,质量为$m$、电荷量为$q$的粒子从$O$附近飘入加速电场,多次加速后粒子经过$P$点绕$O$做圆周运动,半径为$R$,粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场,在$P$位置安装一个“静电偏转器”,如图2所示,偏转器的两极板$M$和$N$厚度均匀,构成的圆弧形狭缝圆心为$Q$、圆心角为$\alpha$,当$M$、$N$间加有电压时,狭缝中产生电场强度大小为$E$的电场,使粒子恰能通过狭缝,粒子在再次被加速前射出磁场,不计$M$、$N$间的距离。求:
(1) 粒子加速到$P$点所需要的时间$t$;
(2) 极板$N$的最大厚度$d_{ m}$;
(3) 磁场区域的最大半径$R_{ m}$。

答案：
15.参考答案
(1)$(\frac{qB^{2}R^{2}}{2mU}-1)\frac{\pi m}{qB}$
(2)$2(\sqrt{R^{2}-\frac{2mU}{qB^{2}}}-\sqrt{R^{2}-\frac{4mU}{qB^{2}}})$
(3)$R+\frac{2mER}{qB^{2}R - mE}\sin \frac{\alpha}{2}$
命题意图本题以回旋加速器为载体考查粒子在电场和磁场中运动，考查考生的分析综合能力和应用数学处理物理问题的能力。
解题思路
(1)设粒子在P点的速度大小为$v_{\mathrm{P}}$，则根据$qvB = m\frac{v^{2}}{r}$，可知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为$R=\frac{mv_{\mathrm{P}}}{qB}$，设粒子经过加速电场的次数为n，对粒子在电场中的加速过程，根据动能定理有$nqU=\frac{1}{2}mv_{\mathrm{P}}^{2}$，粒子在磁场中运动的周期为$T=\frac{2\pi m}{qB}$，粒子运动的总时间为$t=(n - 1)×\frac{T}{2}$，联立解得$t=(\frac{qB^{2}R^{2}}{2mU}-1)\frac{\pi m}{qB}$。
(2)由粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径$r=\frac{mv}{qB}$及动能$E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2}mv^{2}$可得$r=\frac{\sqrt{2mE_{\mathrm{k}}}}{qB}$，则粒子加速到P点前最后两个半周的运动半径分别为$r_{1}=\frac{\sqrt{2m(E_{\mathrm{kP}}-qU)}}{qB}$，$r_{2}=\frac{\sqrt{2m(E_{\mathrm{kP}}-2qU)}}{qB}$，由几何关系有$d_{\mathrm{m}}=2(r_{1}-r_{2})$，又$E_{\mathrm{kP}}=\frac{(qBR)^{2}}{2m}$，联立解得$d_{\mathrm{m}}=2(\sqrt{R^{2}-\frac{2mU}{qB^{2}}}-\sqrt{R^{2}-\frac{4mU}{qB^{2}}})$。
(3)设粒子在偏转器中的运动半径为$r_{0}$，在偏转器中，要使粒子做匀速圆周运动的半径变大，则粒子所受的电场力应和洛伦兹力反向，合力提供向心力，即$qv_{\mathrm{P}}B - qE = m\frac{v_{\mathrm{P}}^{2}}{r_{0}}$，设粒子离开偏转器的点为E，粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心为$O'$。由题意知，$O'$在$EQ$上，且粒子飞出磁场的点F与O、$O'$在一条直线上，如图所示。粒子在偏转器中做匀速圆周运动的圆心在Q点，从偏转器飞出（即从E点离开），又进入回旋加速器中的磁场，此时粒子的运动半径又变为R，轨迹发生偏离，从偏转器的F点飞出磁场，则磁场的最大半径为$R_{\mathrm{m}}=OF = R + OO'$，由几何关系可知$\triangle OO'Q$为等腰三角形，则$OO'=2(r_{0}-R)\sin \frac{\alpha}{2}$，联立解得最大半径为$R_{\mathrm{m}}=R+\frac{2mER}{qB^{2}R - mE}\sin \frac{\alpha}{2}$。