《2026年新高考5年真题物理江苏专版》

16. （15分）如图所示，两个半圆环区域$abcd$、$a'b'c'd'$中有垂直纸面向里的匀强磁场，区域内、外边界的半径分别为$R_{1}$、$R_{2}$。$ab$与$a'b'$间有一个匀强电场，电势差为$U$，$cd$与$c'd'$间有一个插入体，电子每次经过插入体速度减小为原来的$k$倍。现有一个质量为$m$、电荷量为$e$的电子，从$cd$面射入插入体，经过磁场、电场后再次到达$cd$面，速度增加，多次循环运动后，电子的速度大小达到一个稳定值，忽略相对论效应，不计电子经过插入体和电场的时间。求：
（1）电子进入插入体前后在磁场中运动的半径$r_{1}$、$r_{2}$之比；
（2）电子多次循环后到达$cd$的稳定速度$v$；
（3）若电子到达$cd$中点$P$时速度稳定，并最终到达边界$d$，求电子从$P$到$d$的时间$t$。

答案：
16.参考答案
(1)$1:k$
(2)$\sqrt{\frac{2eU}{m(1 - k^2)}}$，方向垂直$cd$向左
(3)$\frac{\pi(R_2 - R_1)}{4}\sqrt{\frac{m(1 + k)}{eU(1 - k)}}$
命题意图本题考查带电粒子在组合场（电场、磁场）中的运动，考查考生的推理能力和分析综合能力。
解题思路
(1)设电子进入插入体前后的速度大小分别为$v_1$、$v_2$，由题意可得$v_2 = kv_1$，电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得$evB = m\frac{v^2}{r}$，解得$r = \frac{mv}{eB}$，可知电子在磁场中运动的轨迹半径$r \propto v$，可得$r_1:r_2 = v_1:v_2 = 1:k$。
(2)电子多次循环后到达$cd$的稳定速度大小为$v$，则经过插入体后的速度大小为$kv$，电子经过电场加速后速度大小又变为$v$，根据动能定理可得$eU = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}m(kv)^2$，解得$v = \sqrt{\frac{2eU}{m(1 - k^2)}}$，方向垂直$cd$向左。
(3)电子到达$cd$中点$P$时速度稳定，并最终到达边界上的$d$点。作出电子从$P$点开始相继在两个半圆区域的运动轨迹，如图所示。

根据
(1)
(2)的结论，可得电子在右半圆区域运动的轨迹半径为$r = \frac{mv}{eB} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{e(1 - k^2)}}$，电子在左半圆区域运动的轨迹半径为$kr$，则电子第一次回到$cd$边时，相对$P$点向下偏移的距离$\Delta x = 2r - 2kr$。由$P$点与$d$点之间的距离为$Pd = \frac{1}{2}(R_2 - R_1)$，可得电子从$P$点最终到达$d$点经历的循环次数为$n = \frac{Pd}{\Delta x} = \frac{R_2 - R_1}{4(1 - k)r}$。电子在左、右半圆区域中运动的周期均为$T = \frac{2\pi m}{eB}$，忽略电子经过电场与插入体的时间，则每一次循环的时间均等于$T$，可得电子从$P$到$d$的时间$t = nT = \frac{\pi(R_2 - R_1)}{4}\sqrt{\frac{m(1 + k)}{eU(1 - k)}}$。