《2026年新高考5年真题物理江苏专版》

9. [2025·湖南卷，15T，16分] 某地为发展旅游经济，因地制宜利用山体举办了机器人杂技表演。表演中，需要将质量为$m$的机器人抛至悬崖上的$A$点，图为山体截面与表演装置示意图。$a$、$b$为同一水平面上两条光滑平行轨道，轨道中有质量为$M$的滑杆。滑杆用长度为$L$的轻绳与机器人相连。初始时刻，轻绳绷紧且与轨道平行，机器人从$B$点以初速度$v$竖直向下运动，$B$点位于轨道平面上，且在$A$点正下方，$AB = 1.2L$。滑杆始终与轨道垂直，机器人可视为质点且始终在同一竖直平面内运动，不计空气阻力，轻绳不可伸长，$\sin 37° = 0.6$，重力加速度大小为$g$。
(1) 若滑杆固定，$v = \sqrt{gL}$，当机器人运动到滑杆正下方时，求轻绳拉力的大小。
(2) 若滑杆固定，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为$37°$时，机器人松开轻绳后被抛至$A$点，求$v$的大小。
(3) 若滑杆能沿轨道自由滑动，$M = km$，且$k \geq 1$，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为$37°$时，机器人松开轻绳后被抛至$A$点，求$v$与$k$的关系式及$v$的最小值。

答案：
9.参考答案
(1)4mg
(2)$\frac{\sqrt{370gL}}{10}$
(3)v = $\sqrt{\frac{14}{5}gL + \frac{9kgL}{10(1 + k)}}$ (k ≥ 1)
命题意图本题考查动能定理、圆周运动、斜抛运动、相对速度和人船模型，考查考生的推理能力、分析综合能力和应用数学处理物理问题的能力。
解题思路
(1)若滑杆固定，则机器人从B点运动到滑杆正下方的过程中做圆周运动，只有重力对机器人做功，设机器人运动到滑杆正下方时的速度大小为v'，则由动能定理有mgL = $\frac{1}{2}$mv'² - $\frac{1}{2}$mv²，又v = $\sqrt{gL}$，联立解得机器人运动到滑杆正下方时轻绳拉力的大小F_T = 4mg。
(2)设机器人松开轻绳时的速度大小为v''，根据题意作出机器人松开轻绳时的位置及速度方向，如图甲所示。

机器人从B点运动到松开轻绳时的过程，由动能定理有 - mgL sin37° = $\frac{1}{2}$mv''² - $\frac{1}{2}$mv²，机器人松开轻绳后做斜上抛运动，设机器人从松开轻绳到抛至A点所用时间为t，则在水平方向上，有L + L cos37° = v'' sin37°×t，在竖直方向上，有1.2L - L sin37° = v'' cos37°×t - $\frac{1}{2}$gt²，联立解得v = $\frac{\sqrt{370gL}}{10}$。
(3)机器人从开始运动到运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向的夹角为37°的过程中，机器人与滑杆组成的系统在水平方向上动量守恒，根据人船模型可得mx₁ = Mx₂，x₁ + x₂ = L + L cos37°，又M = km，联立解得机器人松开轻绳时，机器人距离A点的水平距离为x₁ = $\frac{9kL}{5(k + 1)}$。
设机器人松开轻绳时相对滑杆的速度大小为v_相，滑杆的速度大小为v_M，作出此时两速度的示意图，如图乙所示。

则机器人松开轻绳时水平方向分速度大小为v_x = v_相sin37° - v_M，机器人松开轻绳时竖直方向分速度大小为v_y = v_相cos37°，由于机器人和滑杆组成的系统水平方向动量守恒，则有mv_x = Mv_M，机器人从B点运动到松开轻绳的过程，系统机械能守恒，则有$\frac{1}{2}$mv² = $\frac{1}{2}$m(v_x² + v_y²) + $\frac{1}{2}$Mv_M² + mgL sin37°，机器人松开轻绳后做斜上抛运动到A点，设该过程的运动时间为t'，则水平方向有x₁ = v_x t'，竖直方向有1.2L - L sin37° = v_y t' - $\frac{1}{2}$gt'²，联立解得v = $\sqrt{\frac{14}{5}gL + \frac{9kgL}{10(1 + k)}}$ (k ≥ 1)。
由v = $\sqrt{\frac{14}{5}gL + \frac{9kgL}{10(1 + k)}}$ = $\sqrt{\frac{9gL}{10(1 + \frac{1}{k})} + \frac{14}{5}gL}$ (k ≥ 1)，可知当k = 1时，v取最小值，最小值为v_min = $\frac{\sqrt{13gL}}{2}$。