《2026年新高考5年真题物理江苏专版》

14. (13分) 如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置，每列有n个。在两列钢球之间，一质量为$m$的玻璃球以初速度$v_0$向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。
(1) 若钢球质量为$m$，求最右侧的钢球最终运动的速度大小$v$；
(2) 若钢球质量为$3m$，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小$v_1$；
(3) 若钢球质量为$3m$，求玻璃球经历$2n$次碰撞后的动能$E_k$。

答案： 14.参考答案
(1)$v_{0}$
(2)$\frac{1}{2}v_{0}$
(3)$\frac{1}{2^{4n + 1}}mv_{0}^{2}$
命题意图本题考查动量守恒定律和机械能守恒定律，考查考生的推理能力和分析综合能力。
解题思路
(1)玻璃球以初速度$v_{0}$向右运动，与右侧第一个钢球发生碰撞，碰撞过程系统动量守恒，机械能守恒。以向右为正方向，设碰撞后玻璃球速度为$v_{10}$，右侧第一个钢球速度为$v^{\prime}$，则有$mv_{0}=mv_{10}+mv^{\prime}$，$\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=\frac{1}{2}mv_{10}^{2}+\frac{1}{2}mv^{\prime 2}$，联立解得$v_{10}=0$，$v^{\prime}=v_{0}$。之后右侧第一个钢球以速度$v_{0}$与右侧第二个钢球碰撞，由两钢球质量相等，可知两钢球碰后交换速度，右侧第一个钢球静止，第二个钢球以速度$v_{0}$运动，以此类推可得，最右侧的钢球最终运动的速度大小$v = v_{0}$。
(2)玻璃球碰撞右侧第一个钢球，碰撞过程系统动量守恒，机械能守恒，以向右为正方向，设碰撞后钢球速度为$v_{11}$，则有$mv_{0}=mv_{1}+3mv_{11}$，$\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}+\frac{1}{2} × 3mv_{11}^{2}$，联立解得$v_{1}=-\frac{1}{2}v_{0}$，$v_{11}=\frac{1}{2}v_{0}$，负号表示速度方向向左，则玻璃球的速度大小为$\frac{1}{2}v_{0}$。
(3)玻璃球与右侧第一个钢球碰撞后，速度最终会交换到右侧第$n$个钢球，相当于玻璃球与第$n$个钢球碰撞。玻璃球反向后与左侧第一个钢球碰撞，碰撞过程系统动量守恒，机械能守恒，以向右为正方向，设碰撞后玻璃球速度为$v_{2}$，钢球速度为$v_{21}$，则有$mv_{1}=mv_{2}+3mv_{21}$，$\frac{1}{2}mv_{1}^{2}=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}+\frac{1}{2} × 3mv_{21}^{2}$，联立解得$v_{2}=\frac{1}{4}v_{0}=(\frac{1}{2})^{2}v_{0}$，方向向右。玻璃球向右反弹后与右侧第一个钢球发生弹性碰撞，同理可得，碰撞后玻璃球再次反弹，且速度大小为碰撞前的$\frac{1}{2}$，以此类推，可知玻璃球经历$2n$次碰撞后速度大小变为$v_{2n}=(\frac{1}{2})^{2n}v_{0}$，则玻璃球经历$2n$次碰撞后的动能$E_{k}=\frac{1}{2}mv_{2n}^{2}=\frac{1}{2^{4n + 1}}mv_{0}^{2}$。