《2025年物理竞赛教程初中》

例题 12
为了保证交通安全，某一急转弯路旁立有一个用凸面镜制成的反光镜。若有一辆高 $ 2 $ m 的汽车，恰好行驶到镜的正前方 $ 5 $ m 的位置，求此时该车在反光镜中所成像的位置、像的高度及像的性质。已知该凸面镜的焦距是 $ 0.8 $ m。

答案： 解析 由于凸面镜的焦点是虚焦点，在应用球面镜成像公式计算时焦距取负值，即 $ f = -0.8 $ m。已知物距 $ u = 5 $ m，代入球面镜成像公式
$\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}$
解得像距
$v = -0.69 m$
像距为负值，表明成虚像，像的位置在镜面的背后，距离凸面镜顶点 $ 0.69 $ m。参看图 5 - 21，我们将像 $ A'B' $ 的长度与物 $ AB $ 的长度之比叫做像的放大率，记作 $ m $，则有
$m = \frac{像长}{物长} = \frac{v}{u}$
根据以上数据，解得：
像 $ A'B' $ 的长度 $ = 0.276 $ m，即汽车的像高约为 $ 0.28 $ m，在镜面的背后，为正立、缩小的虚像。
说明：在应用球面镜成像公式计算时，物距取正值，凸面镜焦距取负值，凹面镜焦距取正值。若计算结果像距为正值，表明成像为实像（像与物在镜的同一侧）；反之，表明成像为虚像（像与物在镜的异侧）。

例题 13
一个小物体垂直主轴方向放在凸透镜前。已知凸透镜焦距 $ f = 10 $ cm，小物体与透镜距离 $ u = 5 $ cm，画出成像光路图，并求出小物体通过透镜所成像的位置、大小及像的性质。
通过上述问题，结合图 1 简要说说你对放大镜的认识。

答案：
解析 成像光路图如图 2 所示。

已知 $ f = 10 $ cm，$ u = 5 $ cm，根据透镜成像公式
$\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}$
求得成像位置 $ v = -10 $ cm，表明像 $ (A'B') $ 与物 $ (AB) $ 在透镜的同一侧，像 $ (A'B') $ 为虚像。
$m = \frac{像长}{物长} = \frac{v}{u} = 2$
根据以上数据可知，像 $ (A'B') $ 长度是物 $ (AB) $ 长度的 2 倍，与物在镜的同侧，为正立、放大的虚像。
通过上述问题，结合图 1 我们可以进一步认识生活中常用的放大镜。平时我们阅读报纸、书籍的放大镜，就是一个凸透镜。当然，这是一个焦距比眼的明视距离小得多的凸透镜（请读者自己想一想其中的原因）。使用时，物体放在靠近放大镜的地方，目的是使物距小于焦距，这样就会在物体同一侧得到一个放大、正立的虚像。为了长时间阅读时眼睛不会疲劳，应该尽量使像成在明视距离处。
还要说明的是，尽管我们前面计算了像与物长度大小的关系，但放大镜的作用主要是视角放大，放大镜的放大率通常反映视角放大的关系。如果仅从放大本领来考虑，透镜焦距应该尽量取得短一些，似乎这样可以得到更大的放大本领。但实际受到人眼调节能力的限制、受到透镜成像产生变形等多种因素的影响和限制，我们阅读时使用的放大镜的放大率一般在 $ 2 \sim 5 $ 之间。