《2025年物理竞赛教程初中》

例题 2
小明的家与学校之间隔有一座山。小明每天上学的过程中，有$\frac{2}{5}$的路程是上坡路，其余都是下坡路。他从家到学校要走$36$min。如果小明上坡行走速度不变，下坡行走速度也不变，而且上坡行走速度与下坡行走速度之比为$2:3$，那么小明放学回家要走多长时间？

答案： 解析
设小明家与学校之间距离为$s$，他上学时走上坡路的时间为$t_1$，走下坡路的时间为$t_2$，小明上坡行走的速度为$v$，则他下坡行走的速度为$\frac{3}{2}v$。根据平均速度概念，上学时小明行走的平均速度为
$\overline{v}_1=\frac{s}{t_1 + t_2}=\frac{s}{\frac{\frac{2}{5}s}{v}+\frac{\frac{3}{5}s}{\frac{3}{2}v}}=\frac{5}{4}v$
设放学回家时，小明走上坡路的时间为$t'_1$，走下坡路的时间为$t'_2$，小明行走的平均速度为
$\overline{v}_2=\frac{s}{t'_1 + t'_2}=\frac{s}{\frac{\frac{2}{5}s}{\frac{3}{2}v}+\frac{\frac{3}{5}s}{v}}=\frac{15}{13}v$
不论上学还是放学，小明行走的路程是相同的，因此有$\overline{v}_1· t_{上}=\overline{v}_2· t_{放}$，即
$\frac{5}{4}v· t_{上}=\frac{15}{13}v· t_{放}$
由此可以求出放学小明行走的时间是
$t_{放}=\frac{5}{4}×\frac{13}{15}t_{上}=\frac{13}{12}×36\,min=39\,min$
说明
(1) 上面例题所给出的条件似乎不足，但进一步分析可以看到，求解本题的关键之一是找出各相关物理量之间的关系，例如上坡行走的速度$v$与下坡行走的速度关系，并用已知量表示出未知量，然后依据物理规律列出式子求解；
(2) 通过对例题的分析可以看出，运用平均速度解决变速直线运动的问题，有时是非常方便和有效的。

例题 3
同学们坐火车到外地参加军训。在火车上，老师布置了一个任务：利用火车上现有的条件，设计一两个简易可行的方法测出火车行驶的平均速度。

答案： 解析
坐火车时如果我们注意观察，就会发现铁路旁边每隔$1$km 立有一座不太大的里程碑，利用这些里程碑可以很方便地测出火车行驶的平均速度。当火车经过某一里程碑时，我们利用手表开始计时(如果同学的手表有专门的计时功能就更方便了)，只要记下经过几个里程碑，就可以知道火车行驶的路程。同时由手表读出行驶这段路程所用的时间，就可以很方便地求出这段时间内火车行驶的平均速度。
另一可行的方法是通过查看列车运行时刻表(或是向列车员询问有关情况)，来计算火车行驶的平均速度。在列车运行时刻表中查出火车行驶在两车站之间发车及到站时刻(同时看自己的手表加以验证)，同时查出两车站之间铁路路线的长度，就可以计算出火车在这段路程中行驶的平均速度了。
前一种方法可以方便地测出火车行驶中不太长的一段路程中的平均速度，而后一种方法则可以方便地测出火车行驶中，在两站之间(较长的一段路程中)的平均速度。
说明
本题具有一定的开放性，题目的答案是多样的。只要方法切实可行，都是正确的。在日常生活中类似的问题很多，在学习过程中我们应注意这样的问题。