《2025年物理竞赛教程初中》

例题 6
请对以下各说法的正误进行分析和说明。
1. 根据密度公式 $$ \rho = \frac{m}{V} $$ 可知，物体的密度 ρ 与质量 m 成正比，与体积 V 成正比。
2. 相同质量的水，分别处于气态、液态和固态时，其密度将依次增大。
3. 游泳时我们感觉到随水深增加，水下的压强明显增大。物理知识告诉我们，水深每增加 10 m，水下压强将大约增大 1 个大气压。因此，随水深增加，水的密度会明显增大。

答案： 解析 1. 密度是物质固有的特性之一，对于确定的物质，其密度与质量和体积无关。当然，与物质存在的形态、温度等因素有关。应该说明的是，密度公式 $$ \rho = \frac{m}{V} $$ 是密度的量度式，我们可以通过测量物体的质量和体积来测量其密度。
2. 相同质量的水，处于气态时体积最大，因此其密度最小。水结冰由液态变为固态时，其体积增大，因而其密度会减小。因此对于相同质量的水，处在常温常压的情况下，气态时密度最小，液态时密度最大。
3. 由于水受到重力作用，水深每增加 10 m，水下压强将大约增大 1 个大气压。可以说，随水深增加，水下压强将明显增大。但是水的密度并没有随水深增大而明显增大。从微观角度看，原因就在于液态的水内部分子排列相当紧密，分子间空隙很小，尽管外部压强增大，水很难被压缩。以海水为例，海水的密度大致在 1.02×10³ ～ 1.07×10³ kg/m³ 范围，研究表明，海水密度主要取决于海水的温度和盐度分布情况。在开阔海面 100 ～ 200 m 以下，盐度几乎是稳定的，海水压强对密度只有极微小影响，因此在通常情况下，我们忽略随水深度增加而带来的水密度变化。

例题 7
某地要造一个花岗岩人体全身像，已知模特质量为 50 kg，雕像高度为模特身高的 3 倍。若花岗岩的密度 $$ \rho_{石} = 2.6 × 10^{3} kg/m^{3} $$，人的密度 $$ \rho_{人} = 1.0 × 10^{3} kg/m^{3} $$，求雕像的质量。

答案： 解析 由于雕像的形状不规则，给测量雕像的体积带来一定的困难；同时又因雕像的质量较大，也不便直接测量，因此要利用上述例题 4 中的巧妙测量方法。
据 $$ \rho = \frac{m}{V} $$ 可知，模特的体积为 $$ V_{人} = \frac{m_{人}}{\rho_{人}} $$。又因像高为模特高的 3 倍，所以雕像的体积为 $$ V_{石} = 3^{3} V_{人} = 27 × \frac{m_{人}}{\rho_{人}} $$。因此雕像的质量为
$\begin{aligned}m &= \rho_{石} V_{石} = \rho_{石} × 27 × \frac{m_{人}}{\rho_{人}} \\&= 2.6 × 10^{3} kg/m^{3} × 27 × \frac{50 kg}{1.0 × 10^{3} kg/m^{3}} \\&= 3.5 × 10^{3} kg\end{aligned}$
说明 像高为模特高的 3 倍，则要求像的长和宽也均为模特的 3 倍，只有这样才能使像与模特相似，因此有 $$ V_{石} = 3^{3} V_{人} = 27 V_{人} $$。