《2025年物理竞赛教程初中》

例题 6
小红在地铁出口处的自动扶梯上做了如下实验：在自动扶梯运行时，她站在扶梯上不动，乘自动扶梯从扶梯底端上升到地面需要$2$min。在自动扶梯不运行时，她沿扶梯快速向上行走，经$1$min 从扶梯底端走到地面。在此基础上，她通过计算得到两项结果：(1) 在自动扶梯运行时，她同时沿扶梯向上行走，从扶梯底端上升到地面所用的时间$t_1$；(2) 在自动扶梯向上运行时，她从地面沿扶梯向下行走，从地面走到扶梯底端所用的时间$t_2$（已知她相对自动扶梯行走的速度始终是相同的）。随后她又在自动扶梯上通过实验加以验证，实验结果与她的计算结果是一致的。请你也利用小红前两次实验结果计算一下$t_1$和$t_2$的数值各多大。

答案： 解析
设自动扶梯运行速度为$v_{梯}$，人相对扶梯快速行走速度为$v_{人}$，当人沿自动扶梯向上行走时，人相对地面的速度$v = v_{人} + v_{梯}$。
设自动扶梯总长度为$s$，人沿运行的自动扶梯向上行走的时间为$t_1$，则
$t_1=\frac{s}{v}=\frac{s}{v_{人} + v_{梯}}=\frac{s}{\frac{s}{t_{人}}+\frac{s}{t_{梯}}}=\frac{t_{人}· t_{梯}}{t_{人} + t_{梯}}$
代入数据，解得人沿运行的自动扶梯向上行走所用时间是
$t_1=\frac{2}{3}\,min=40\,s$
当人沿自动扶梯向下走时，由于人运动方向与扶梯运行方向相反，人相对地面的速度$v' = v_{人} - v_{梯}$，人沿扶梯向下走的时间为
$t_2=\frac{s}{v'}=\frac{s}{v_{人} - v_{梯}}=\frac{s}{\frac{s}{t_{人}}-\frac{s}{t_{梯}}}=\frac{t_{人}· t_{梯}}{t_{梯} - t_{人}}$
代入数据，解得人沿运行的自动扶梯向下行走所用时间是
$t_2 = 2\,min=120\,s$
说明
(1) 在例题 6 中，两个物体沿同一直线运动，对于不同的参考物，物体运动速度是不同的。我们在研究和描述物体运动情况时，要明确所选择的参考物。类似例题 6 这样的问题，最好取地面为参考物进行研究；
(2) 通过例题 5 和例题 6 的分析我们应该看到，在涉及两个物体的相对运动时，参考物的选择显得更加重要。一般情况下，可以先选择地面为参考物，研究两个物体相对地面的运动。在此基础上，学有余力的同学可以进一步以其中某一物体为参考物，研究两物体之间的相对运动。
通过以上两题的分析我们还可以看到，应用数学知识分析、解决物理问题是学习物理的重要方法之一。