《2025年物理竞赛教程初中》

例题 7
$80^{\circ}C$ 的煤油 $30g$，$60^{\circ}C$ 的煤油 $40g$，$36^{\circ}C$ 的煤油 $50g$，将这三种温度不同的煤油混合，不计热量损失，达到平衡状态后煤油的温度多高？已知煤油的比热容 $c = 2.13×10^3J/(kg·^{\circ}C)$。

答案： 解析 解法 1：混合后煤油的温度肯定低于 $80^{\circ}C$ 而高于 $36^{\circ}C$，问题在于 $60^{\circ}C$ 的煤油在混合过程中是吸热还是放热。对此可以用比较法确定。以 $60^{\circ}C$ 为参考温度，$80^{\circ}C$ 的煤油降低到 $60^{\circ}C$ 的过程中，放出的热量为
$Q_1 = cm_1\Delta t_1 = 2.13J/(g·^{\circ}C)×30g×20^{\circ}C = 1278J$
$36^{\circ}C$ 的煤油升高到 $60^{\circ}C$ 的过程中，吸收的热量为
$Q_2 = cm_2\Delta t_2 = 2.13J/(g·^{\circ}C)×50g×24^{\circ}C = 2556J$
由于 $Q_1 ＜ Q_2$，可以判断出混合后煤油的温度肯定低于 $60^{\circ}C$，即 $60^{\circ}C$ 的煤油在混合过程中是放热的。设混合后煤油温度是 $t$，则根据热平衡方程，有
$cm_1(t_1 - t) + cm_2(t_2 - t) = cm_3(t - t_3) \quad ①$
代入数据，可以解出混合后煤油温度
$t = 55^{\circ}C$
解法 2：将上面①式改写一下，有
$cm_1(t_1 - t) + cm_2(t_2 - t) + cm_3(t_3 - t) = 0$
即
$Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0$
由此我们可以这样分析：设混合后煤油温度是 $t$，不必考虑哪一个温度的煤油放热，假设每种煤油都放热，根据热平衡关系，必定有 $Q_1$、$Q_2$、$Q_3$ 的代数和为零。将数据代入上式，解得混合后煤油温度。
解法 3：设三种温度的煤油都降低到 $0^{\circ}C$，共放出热量
$Q_1 = cm_1\Delta t_1 + cm_2\Delta t_2 + cm_3\Delta t_3$
设混合后煤油温度是 $t$，三种温度的煤油都从 $0^{\circ}C$ 升高到 $t$，吸热
$Q_2 = c(m_1 + m_2 + m_3)(t - 0^{\circ}C)$
由于 $Q_1 = Q_2$，解得
$t = \frac{Q}{c(m_1 + m_2 + m_3)} = 55^{\circ}C$
说明 由例题 6、例题 7 的分析可以看出，对不同温度液体的混合问题，不能简单猜测，而应该根据热平衡方程具体讨论和分析。