《2025年物理竞赛教程初中》

9 声音在钢铁中的传播速率大约是 $ 5.0×10^3 $ m/s，如果时间测量的精度能够达到 $ 10^{-2} $ s，那么测量声音在钢铁中的传播距离误差最大不超过 50 m；电磁波在真空传播速率大约是 $ 3.0×10^8 $ m/s，如果时间测量精度能够达到 $ 10^{-7} $ s，那么测量电磁波在真空中的传播距离误差不大于 30 m。

答案： 9 50 m 30 m

10 高楼电梯的最高运行速度可以达到 3 m/s。乘坐电梯从 1 层上到第 7 层楼，在前两层电梯用了 3 s 加速到最高速度后，从第 3 层开始电梯以匀速运行，在到达第 7 层的前一层（即第 6 层）时开始减速，又用了 1.2 s 电梯停在第 7 层，楼层间隔为 3 m。求：
（1）到达第 7 层前电梯的平均速度；
（2）从底楼乘这个电梯中间不停地到第 14 层楼要用多长时间？

答案： 10
(1)到达第7层前电梯的平均速度$\bar{v}=\frac{s}{t}=\frac{18m}{7.2s}=2.5m/s；$
(2)从底楼乘电梯中间不停地到第14层楼要用14.2s的时间。

11 地下车站中的自动扶梯匀速运行时，用 $ t_1 $ 分钟将站在扶梯上不动的人从地下送到地面上。若自动扶梯不动，人沿自动扶梯从地下匀速走上地面需要 $ t_2 $ 分钟。那么这个人沿开动的扶梯，以相对扶梯相同的速度向上走，从地下到达地面所需要的时间是多少分钟？

答案： 11 从地下到达地面所需要的时间是$\frac{t_1t_2}{t_1+t_2}$分钟。

12 一列客车以 72 km/h 速度匀速行驶时，在与它平行的另一轨道上迎面匀速驶来一列长度为 300 m 的货车。坐在客车上的一个人看到货车从他眼前经过共用了 10 s，求货车行驶的速度大小。

答案： 12 货车行驶的速度是10m/s。

13 在龙舟大赛开始阶段，红队领先，黄队落后。后来黄队奋起直追，从黄队的船头追上红队的船尾开始，经过 40 s 的拼搏，黄队的船尾恰好超过红队的船头。已知两队的船长均为 10 m，若红队划船速度保持 6 m/s 不变，黄队超越红队时船速也不变，那么黄队超越红队时划船速度多大？

答案： 13 黄队超越红队时划船速度是6.5m/s。

14 一艘船沿河在上、下游的 $ A $、$ B $ 两地之间往返，若河水流速恒定不变，船相对河水的速度也不变，证明：船在 $ A $、$ B $ 两地之间往返一次所用的时间，比河水不流动时所用时间长。

答案： 14 设A、B两地之间距离为L，河水流速为v，船相对河水的速度为u，则河水不流动时，船往返两地之间一次所用的时间$t_1=\frac{2L}{u}。$河水流动时，船往返两地之间一次所用的时间$t_2=\frac{L}{u+v}+\frac{L}{u-v}=\frac{2uL}{u^2-v^2}=\frac{2L}{u-v^2/u}＞t_1。$

15 某同学在操场上以 5 m/s 的速度沿东偏北 $ 37° $ 方向匀速直线行走。该同学向东和向北方向运动速度各多大？若行走 10 s 时间，他向东和向北方向运动距离各多大？取 $ \cos 37° = 0.8 $。

答案： 15 向东速度$v_e=v\cos37°=4m/s，$向北速度$v_n=v\sin37°=3m/s；$向东运动距离$s_e=v\cos37° t=40m，$向北运动距离$s_n=v\sin37° t=30m($或$s_n=s\sin37°=30m)。$

16 草原上一个气象观测站到附近一条笔直公路的距离为 1600 m，这条公路旁有一邮局，邮局与气象观测站的间距为 2000 m。从邮局到气象观测站有两条投递路线：一是投递员在草原上步行，从邮局直接走向气象站；二是投递员先骑车沿公路行驶，在公路上距气象站最近的位置下车，步行到气象站。已知投递员在草原上行走速度及骑车速度都不变，那么为了使投递时间最短，在投递员行走速度 $ v_1 $ 及骑车速度 $ v_2 $ 满足什么条件时，投递员应选择后一路线？

答案： 16 在投递员行走速度$v_1$及骑车速度$v_2$满足$v_2＞3v_1$条件时，投递员应选择后一路线。

17 天文观测表明，几乎所有远处的恒星（或星系）都在以各自的速度背离我们而运动，离我们越远的星体，背离我们运动的速度（称为退行速度）越大，也就是说，宇宙在膨胀。不同星体的退行速度 $ v $ 与它们离我们的距离 $ r $ 成正比，即 $ v = Hr $，式中 $ H $ 为一常量，称为哈勃常数，已由天文观察测定。为解释上述现象，有人提出一种理论，认为宇宙是从一个大爆炸的火球开始形成的。假设大爆炸后各星体即以不同的速度向外匀速运动，并设想我们位于其中心，则速度越大的星体现在离我们越远。这一结果与上述天文观测一致。
（1）由上述理论和天文观测结果，可估算宇宙年龄 $ T $，写出估算宇宙年龄 $ T $ 的表达式；
（2）根据近期观测，哈勃常数 $ H = 3×10^{-2} $ m/（s·l.y.），其中 l.y. 为光年，是光在一年中行进的距离，由此估算宇宙的年龄约为多少年？

答案： $(1)$ 估算宇宙年龄$T$的表达式
解：
设某星体离我们的距离为$r$，退行速度为$v$，因为大爆炸后各星体做匀速运动，根据匀速直线运动公式$r = vt$（这里$t$就是宇宙年龄$T$），又已知$v = Hr$。
将$v = Hr$代入$r = vt$中，可得$r=HrT$，两边同时约去$r$（$r\neq0$），得到$T=\frac{1}{H}$。
$(2)$ 估算宇宙的年龄
解：
已知$H = 3×10^{-2} m/(s·l.y.)$，$1$光年$l.y.=c×1$年（$c = 3×10^{8} m/s$）。
将$H = 3×10^{-2} m/(s·l.y.)$进行单位换算：
$H = 3×10^{-2}\frac{ m}{ s× c×1 年}= 3×10^{-2}\frac{ m}{ s×3×10^{8} m/s×1 年} = 1×10^{-10} /年$。
由$T=\frac{1}{H}$，可得$T=\frac{1}{1× 10^{-10} /年} = 1×10^{10} 年$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{T=\frac{1}{H}}$；$(2)$$\boldsymbol{1×10^{10}}$年 。