《2025年物理竞赛教程初中》

例题 10
公共汽车定时定速地在一条线路上匀速行驶，一骑车人在同一路上匀速行驶。该人每隔$3$min 与迎面驶来的汽车相遇，每隔$5$min 后面同向行驶的一辆汽车超过他。求：
(1) 公共汽车几分钟发一班车？
(2) 骑车人的速度与公共汽车的速度之比。

答案： 解析
(1) 设相邻两车距离为$L$，汽车的速度为$u$，骑车人的速度为$v$，根据题设条件有
$\frac{L}{u + v} = 3,\quad\frac{L}{u - v} = 5$
解得$\frac{L}{u} = \frac{15}{4} = 3.75$min，$\frac{L}{v} = 15$min。
由此可知公共汽车每隔$3.75$min 发一班车。
(2) 骑车人的速度与公共汽车的速度之比为$1:4$。

例题 11
以$54$km/h 行驶的火车刹车减速后，经过$1$min $40$s 停住，求此过程中火车的加速度。火车运动按照匀变速运动处理。

答案： 解析
已知火车做匀变速运动，$v_0 = 54$km/h = $15$m/s，$v_t = 0$，$t = 100$s。
欲求火车刹车过程的加速度$a$。
火车做匀变速运动，根据加速度定义，有
$a = \frac{v_t - v_0}{t} = \frac{0 - 15}{100}\,m/s^2 = -0.15\,m/s^2$
火车刹车过程的加速度大小是$0.15$m/s²，加速度方向与运动方向相反。

例题 12
物体以$150$cm/s 的初速度做匀加速直线运动，加速度大小为$0.5$m/s²，求：
(1) 第$5$s 末的速度及第$4$s 内的平均速度；
(2) 运动后$3$s 内的位移及$3$s 内的平均速度；
(3) 第$3$s 内的位移及第$3$s 内的平均速度。

答案： 解析
(1) 第$5$s 末的速度
$v_5 = v_0 + at = 1.5\,m/s + 0.5×5\,m/s = 4.0\,m/s$
前$3$s 内位移
$s_3 = v_0t + \frac{1}{2}at^2 = 6.75\,m$
前$4$s 内位移
$s_4 = v_0t + \frac{1}{2}at^2 = 10\,m$
第$4$s 内位移
$\Delta s = s_4 - s_3 = 3.25\,m$
第$4$s 内的平均速度
$\overline{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = 3.25\,m/s$
或是
$v_{3.5} = v_0 + at = 1.5\,m/s + 0.5×3.5\,m/s = 3.25\,m/s$
$\overline{v} = v_{3.5} = 3.25\,m/s$
(2) 运动后$3$s 内的位移
$s_3 = v_0t + \frac{1}{2}at^2 = 6.75\,m$
运动后$3$s 内的平均速度
$\overline{v} = \frac{s_3}{t} = 2.25\,m/s$
(3) 运动后$2$s 内的位移
$s_2 = v_0t + \frac{1}{2}at^2 = 4\,m$
第$3$s 内的位移
$\Delta s = s_3 - s_2 = 2.75\,m$
第$3$s 内的平均速度
$\overline{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = 2.75\,m/s$
说明
在学习、研究与物体运动有关的问题时，要对时间、时刻、路程、位移、瞬时速度、平均速度等概念有准确的理解。