《2025年物理竞赛教程初中》

例题 6
如图所示，将一木块放入水中，它露出水面部分的体积 $ V_1 $ 是 $ 24 \, cm^3 $。将露出水面部分完全截去后再放入水中，它露出水面部分的体积 $ V_2 $ 是 $ 16 \, cm^3 $。求：木块的密度和原来的体积各多大？

答案： 解析 木块两种情况均处于漂浮状态，根据浮沉条件可知，其所受浮力等于重力。设木块原来的体积为 $ V $，第一次露出水面的体积为 $ V_1 $，第二次露出水面的体积为 $ V_2 $，如图所示。
原来木块漂浮时，有
$ \rho_{水}g(V - V_1) = \rho_{木}gV $
截去体积 $ V_1 $ 后，剩下的部分漂浮，有
$ \rho_{水}g(V - V_1 - V_2) = \rho_{木}g(V - V_1) $
两式相减，得
$ \rho_{水}gV_2 = \rho_{木}gV_1 $
木块的密度
$ \rho_{木} = \frac{V_2}{V_1}\rho_{水} = \frac{16}{24} × 10^3 \, kg/m^3 = 0.67 × 10^3 \, kg/m^3 $
木块原来的体积
$ V = \frac{\rho_{水}}{\rho_{水} - \rho_{木}}V_1 = \frac{1}{1 - 0.67} × 24 \, cm^3 = 72.7 \, cm^3 $
说明 上面两式相减所得到的 $ \rho_{水}gV_2 = \rho_{木}gV_1 $，它表达了什么物理意义呢？取被截去的部分 $ V_1 $ 为研究对象，$ V_1 $ 的重力应等于木块两次所受到的浮力之差，即 $ V_1 $ 的重力 $ G = \Delta F_{浮} $，也就是 $ \rho_{木}gV_1 = \rho_{水}gV_2 $。我们对本题运算作简要说明：在求解木块密度和体积时，我们分别进行了运算。如果将上面两式合并后再代入数据运算，得到的结果是 $ 72 \, cm^3 $。这是运算方法不同产生的差异，两个结果都可以接受。对于实际物理问题，在测量和数值计算中通常都会产生误差，关于这一点，初学物理的同学可以慢慢体会。