《2025年物理竞赛教程初中》

例题 10
一个实心玻璃球，用精确的弹簧秤在空气中称得其重力为 $ 0.441 \, N $，将玻璃球完全浸没在水中，此时弹簧秤的示数为 $ 0.294 \, N $（这个示数也叫做玻璃球在水中的视重），求玻璃球的密度 $ \rho $。

答案： 解析 设玻璃球的体积是 $ V $，玻璃球的重力及其在水中视重分别为 $ G $ 和 $ G' $，根据力的平衡知识，玻璃球的重力 $ G $ 及其在水中视重 $ G' $ 的差值就等于玻璃球在水中所受到的浮力 $ F $，即 $ F = G - G' $。
玻璃球完全浸没在水中，玻璃球排开水的体积等于玻璃球体积 $ V $，根据阿基米德原理，有
$ V = \frac{F}{\rho_0 g} = \frac{G - G'}{\rho_0 g} $
其中 $ \rho_0 $ 表示水的密度。由此可以求出玻璃球的密度
$ \rho = \frac{m}{V} = \frac{\frac{G}{g}}{V} = \frac{G}{G - G'} · \rho_0 = 3.0 × 10^3 \, kg/m^3 $
如果我们将这个玻璃球完全浸没在某种密度未知的液体中，能否进一步测出这种液体的密度呢？从原理上讲这是很简单的问题。只要将玻璃球完全浸没在这种未知液体中，测出玻璃球在这种液体中的视重 $ G'' $，就知道玻璃球在这种液体中所受到的浮力 $ F' $，$ F' = G - G'' $。设未知液体的密度为 $ \rho_x $，根据前面分析，有
$ \rho = \frac{G}{G - G'} · \rho_0, \quad \rho = \frac{G}{G - G''} · \rho_x $
可以求出未知液体的密度为
$ \rho_x = \frac{G - G''}{G - G'} · \rho_0 $

例题 11
通过实验测量小木块的密度 $ \rho $。除待测小木块外，提供的器材有：一个盛有水的大容器，一个测量精度可以达到要求的弹簧秤，一个铁块，细线。说明实验原理和实验方法，并给出最终结果。已知小木块密度 $ \rho $ 小于水的密度 $ \rho_0 $。将小木块与铁块拴在一起，两者在水中将下沉。

答案： 解析 由于小木块密度 $ \rho $ 小于水的密度 $ \rho_0 $，而且将小木块与铁块拴在一起，两者在水中将下沉，可以用沉锤法测量小木块密度 $ \rho $。
（1）先在空气中用弹簧秤测出小木块的重力 $ G $。
（2）用细线将小木块与铁块系在一起，然后挂在弹簧秤下，小木块在上，铁块在下。
（3）将铁块完全浸没在水中，此时小木块全部处于水面之上，记录弹簧秤的示数 $ G' $。根据力的平衡知识，此时弹簧秤的示数 $ G' $ 等于小木块和铁块总重力与铁块所受到的浮力之差。
（4）将铁块和小木块完全浸没在水中，记录弹簧秤的示数 $ G'' $。此时弹簧秤的示数 $ G'' $ 等于小木块和铁块总重力与铁块、小木块所受到的浮力之差。
（5）以上两次测量数据 $ G' $ 与 $ G'' $ 之差，就等于小木块浸没在水中所受到的浮力。由此可以推算出小木块的体积（与排开水的体积相等）是 $ V = \frac{G' - G''}{g\rho_0} $。
（6）小木块的密度为 $ \rho = \frac{m}{V} = \frac{G}{gV} = \frac{G}{G' - G''} · \rho_0 $。
由以上分析可知，根据测量出的 $ G $、$ G' $ 与 $ G'' $，借助已知量水的密度 $ \rho_0 $，可求出小木块的密度。
说明 利用物体在液体中的浮沉条件，可以方便地求出物体（或液体）的密度。类似例题 10、例题 11 实验中，除使用弹簧秤外，还常使用物理天平。请读者自己想一想：如果将弹簧秤换成物理天平，如何完成类似的测量呢？