《2025年物理竞赛教程初中》

例题 13
一辆停在十字路口的小汽车等候信号灯，当绿灯亮时，它立即起动。与此同时，一辆同向行驶的大卡车以$10$m/s 的速度从小汽车旁边匀速驶过。小汽车起动后$10$s 时，其速度达到$20$m/s。已知大卡车一直保持原来的状态行驶，起动后小汽车的速度在相同时间内增加值相同。

(1) 在图 1 中画出小汽车与大卡车运动的$v - t$图象；
(2) 根据画出的$v - t$图象，具体分析：
a. 追上大卡车时，小汽车距起动位置多远；
b. 追上大卡车时，小汽车的速度大小；
c. 小汽车追上大卡车以前，两车之间的最大距离。

答案：
解析
(1) 以小汽车起动位置为坐标原点，从它起动时开始计时($t = 0$)，依据题目所设定的条件：大卡车一直匀速行驶，由于小汽车由静止起动，在相同时间内速度增加值相同，小汽车的速度$v_1$随时间$t$变化图象和大卡车的速度$v_2$随时间$t$变化图象，分别如图 2 中的$p$、$q$所示。
(2) 小汽车由静止起动，在一段时间内落后于匀速行驶的大卡车。小汽车能够追赶大卡车的条件是：小汽车的运动速度$v_1$大于大卡车的运动速度$v_2$。即小汽车的运动速度$v_1$小于$10$m/s 时，两车的距离在加大。这种状况直到小汽车的运动速度$v_1$达到$10$m/s 时结束。此后，小汽车的运动速度$v_1$进一步增加，两车的距离逐渐减小，直至小汽车追上大卡车。
根据$v - t$图象，不仅可以知道物体运动速度$v$随时间$t$变化的情况，还可以根据图线与坐标轴所围图形的面积，分析出物体运动的路程。由图 3 中的$p$、$q$与坐标轴所围图形的面积，我们可以看到，在时间$t = 5$s 时，小汽车行驶路程数值上等于三角形面积，大小是$25$m。这就是两车之间的最大距离。
在时间$t = 10$s 时，小汽车速度$v_1 = 20$m/s，此时小汽车行驶路程是$100$m。而大卡车的行驶路程也恰好是$100$m。该时刻小汽车刚好追上大卡车。
综上所述，追上大卡车时，小汽车距起动位置$100$m。此时小汽车速度是$20$m/s。小汽车追上大卡车以前，两车之间的最大距离是$25$m。
这类问题在高中学习中，可以利用相关公式计算得到结果。由本例题可以看到，利用物体的运动图象(包括$s - t$图象和$v - t$图象)可以直观、方便地分析物体的运动情况。即使是不知道高中内容，不掌握公式的初中同学，理解和掌握上面的知识和方法，也并不困难。有兴趣的同学还可以根据本例题的图象对两车的运动情况做更多更细致的分析。