《2025年物理竞赛教程初中》

例题 9
重 $ 16 \, N $ 的实心塑料小球用轻细线拴住，线的另一端固定在水底，如图 1 所示。小球静止不动时，细线对小球的拉力大小为 $ 4 \, N $。以下说法中正确的是(ABC)。
A. 塑料小球的密度是 $ 0.8 × 10^3 \, kg/m^3 $
B. 若将细线剪断，不计水对小球的阻力，小球将在水中加速向上浮起
C. 若将细线剪断，塑料小球将浮出水面，静止在水面上时，小球有 $ \frac{1}{5} $ 体积露出水面
D. 若将细线剪断，在细线下面系另一个重为 $ 4 \, N $ 的实心铁球，这两个球将可

以悬浮在水中

答案： 解析 （1）小球在水下静止不动时，受到重力 $ G $、浮力 $ F $ 和细线对小球的拉力 $ T $，受力情况如图 2 所示。根据力的平衡知识，这三个力的合力为零，即
$ F - T - G = 0 $
由题设条件 $ T = 4 \, N $，$ G = 16 \, N $，可知小球在水下所受浮力大小为 $ F = T + G = 20 \, N $。设小球体积为 $ V $，小球在水下排开水的体积也是 $ V $。根据 $ G = mg = \rho Vg $ 和阿基米德原理，有
$ G = \rho Vg, \quad F = \rho_0 gV $
其中 $ \rho_0 $ 表示水的密度。由以上两式可以得到小球密度与水的密度的关系是
$ \frac{G}{F} = \frac{\rho}{\rho_0} $
解得小球密度
$ \rho = \frac{G}{F}\rho_0 = 0.8 × 10^3 \, kg/m^3 $
（2）若将细线剪断，不计水对小球的阻力，小球仅受重力 $ G $ 和浮力 $ F $，$ F ＞ G $，小球将在水中加速向上浮起。
需要注意的是，物体在液体中上浮或下沉，都是物体受力不平衡所致。若不计液体对物体的阻力，仅在重力和浮力作用下，上浮和下沉的速度都是逐渐增加的。而物体的漂浮、悬浮和沉在液体底部状态，均是物体受力平衡所致的平衡状态。解决问题时应注意将这两类不同情况区分清楚。
另外，上浮是物体在液体中向上运动的过程，上浮过程的最终状态是物体漂浮在液体表面；而下沉是物体在液体中向下运动的过程，下沉过程的最终状态是物体静止在液体的底部；悬浮是物体在液体中任意深度处静止的状态。
（3）塑料小球最终将浮出水面，静止在水面上时，小球所受到的浮力和小球重力大小相等，即
$ \rho_0 gV_{浸} = \rho Vg $
$ \frac{V_{浸}}{V} = \frac{\rho}{\rho_0} = 0.8 $
由以上分析可知，静止在水面上时，小球有 $ \frac{1}{5} $ 体积露出水面。
（4）若将细线剪断，在细线下面系另一个重为 $ 4 \, N $ 的实心铁球，铁球不仅受到重力，同时也受到浮力，因此铁球对连接两个球的细线的拉力小于 $ 4 \, N $，这两个球不可能都悬浮在水中，而是在水中向上浮起。两个球最终在水中处于什么状态？请读者自己分析。
根据以上分析，本题的正确答案应选择 A、B、C。