《2025年期中期末名校名区真题精编高一物理上册人教版》

15.（16 分）如图所示，质量均为 $ m $ 的滑块 $ A $、木板 $ B $ 左端对齐，静止叠放在水平地面上，$ A $、$ B $ 之间的动摩擦因数 $ \mu_1 = 0.3 $，$ B $ 与地面之间的动摩擦因数 $ \mu_2 = 0.1 $。从 $ t = 0 $ 时刻开始，用带有橡胶指套的手指在 $ A $ 的上表面以恒定速率 $ v $ 向右移动，手指对 $ A $ 竖直向下的压力为 $ F = 0.5mg $，经过时间 $ \Delta t $ 后，撤去手指，此时 $ A $ 的左端与 $ B $ 上表面标记点 $ P $ 的距离恰好等于手指在 $ A $ 的上表面留下的划痕长度。撤去手指，再经过时间 $ \Delta t $ 后，$ A $ 的左端与点 $ P $ 对齐且 $ A $、$ B $ 恰好速度相等。重力加速度为 $ g $，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
（1）手指撤去前瞬间，木板 $ B $ 的加速度大小；
（2）$ \Delta t $ 的大小；
（3）点 $ P $ 到木板 $ B $ 左端的距离。

答案： 15.
(1)$0.2g$
(2)$\frac{5v}{3g}$
(3)$\frac{25v^{2}}{18g}$
[解析] 本题主要考查板块模型。
(1)手指撤去前，对木板B根据牛顿第二定律有$\mu_{1}(0.5mg + mg) - \mu_{2}(0.5mg + 2mg) = ma_{B1}$解得$a_{B1} = 0.2g$。
(2)手指撤去后，对B由牛顿第二定律有$\mu_{1}mg - \mu_{2} · 2mg = ma_{B2}$解得$a_{B2} = 0.1g$。假设手指撤去前，A一直加速，且加速度为$a_{A1}$，则划痕长度为$\Delta x = v\Delta t - \frac{1}{2}a_{A1}(\Delta t)^{2}$。手指撤去时，A、B的速度分别为$v_{A1} = a_{A1}\Delta t$ ，$v_{B1} = a_{B1}\Delta t = 0.2g\Delta t$。手指撤去后，根据牛顿第二定律，A的加速度大小为$a_{A2} = \mu_{1}g = 0.3g$。最终二者共速，则$v_{A1} - a_{A2}\Delta t = v_{B1} + a_{B2}\Delta t$联立解得$a_{A1} = 0.6g$。手指撤去后，二者相对位移等于划痕长度，即$\Delta x = v_{A1}\Delta t - \frac{1}{2}a_{A2}(\Delta t)^{2} - v_{B1}\Delta t - \frac{1}{2}a_{B2}(\Delta t)^{2}$联立解得$\Delta t = \frac{5v}{3g}$。
(3)撤去手指后，设A、B刚共速时的速度为$v_{1}$，A、B的相对位移为$\Delta x_{2} = \frac{v_{A1} + v_{1}}{2}\Delta t - \frac{v_{B1} + v_{1}}{2}\Delta t = \frac{5v^{2}}{9g}$。撤去手指前，设经$t_{1}$，手指和A达到共速，手指在A上面留下的划痕长度为$\Delta x' = vt_{1} - \frac{1}{2}vt_{1} = \Delta x_{2}$解得$t_{1} = \frac{10v}{9g}$。在手指作用期间，A、B的相对位移为$\Delta x_{1} = \frac{v}{2}t_{1} + v(\Delta t - t_{1}) - \frac{v_{B1}}{2}\Delta t = \frac{5v^{2}}{6g}$。故点P到木板B左端的距离$d = \Delta x_{1} + \Delta x_{2} = \frac{25v^{2}}{18g}$。