《2025年期中期末名校名区真题精编高一物理上册人教版》

15. (18分)如图，一倾角为$\alpha = 37^{\circ}$的光滑固定足够长斜面的顶端放有质量$M = 0.06kg$的U形框，其EF边与斜面底边平行，长度为$L = 0.6m$，棒CD的两端置于框上，初始时棒CD与EF相距$s_{0} = 0.4m$。现让棒CD与U形框同时由静止开始下滑，棒CD下滑距离$s_{1} = \frac{3}{16}m$后到达图示两虚线区域的上边界(两虚线与斜面底边平行)，开始受到一个“神秘力”的持续作用，棒CD在两虚线间做匀速直线运动，直至离开两虚线间区域。当棒离开两虚线区域的下边界的瞬间，U形框的EF边正好到达两虚线区域的上边界，也开始受到一个“神秘力”的持续作用，从EF边进入两虚线区域开始，U形框做匀速直线运动，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知棒CD或者U形框的EF边只有在图示两虚线间滑动时才会受到“神秘力”的作用，并且“神秘力”的大小跟棒CD或者EF边的速度大小成正比，方向与其速度方向相反，即$F = -kv$，比例系数$k = 0.12kg/s$。重力加速度$g = 10m/s^{2}$，$\sin37^{\circ} = 0.6$。求：
(1)棒CD刚进入两虚线间时的速度大小；
(2)棒CD的质量以及棒CD与U形框之间的动摩擦因数；
(3)两虚线区域的宽度为d；
(4)U形框匀速运动的距离。

答案： 15.
(1)$1.5m/s$
(2)$0.02kg$ $0.375$
(3)$0.3m$
(4)$\frac{5}{18}m$
[解析] 本题主要考查力学综合问题
(1)根据题意可知，棒CD和框在没有进入两虚线间前一起做匀加速直线运动，设棒CD的质量为$m$，二者一起运动的加速度大小为$a$
根据牛顿第二定律可得$(m + M)g\sin\alpha = (m + M)a$
解得$a = 6m/s^2$
设棒CD刚进入两虚线间时两者的速度大小为$v_0$，根据运动学公式可得$v_0^2 = 2as_1$
解得$v_0 = 1.5m/s$
(2)棒CD进入虚线区域时受到的“神秘力”方向沿斜面向上，大小为$F_0 = kv_0$
代入数据解得$F_0 = 0.18N$
棒CD匀速运动过程中受到框给它的滑动摩擦力$f$沿斜面向下，有$mg\sin\alpha + f = F_0$
又$f = \mu mg\cos\alpha$
此时U形框受到棒CD给它滑动摩擦力方向沿斜面向下，正向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得$Mg\sin\alpha - f = Ma_1$
设U形框刚进入两虚线区域时的速度为$v_1$，根据运动学公式可得$v_1^2 - v_0^2 = 2a_1s_0$
U形框进入两虚线间匀速运动，受到的“神秘力”大小为$F_1 = kv_1$，有$F_1 + f = Mg\sin\alpha$
联立解得$f = 0.06N$，$a_1 = 5m/s^2$，$v_1 = 2.5m/s$，$F_1 = 0.3N$，$m = 0.02kg$，$\mu = 0.375$
(3)设棒CD在两虚线间运动的时间为$t_1$，这段时间内棒匀速运动，而U形框做匀加速直线运动，有$v_1 = v_0 + a_1t_1$
解得$t_1 = 0.2s$
两虚线区域的宽度$d = v_0t_1 = 1.5×0.2m = 0.3m$
(4)棒CD出虚线区域时，棒的速度小于U形框的速度，因此受到框给它沿斜面向下的滑动摩擦力，做加速运动，设其加速度大小为$a_2$，则有$mg\sin\alpha + f = ma_2$
解得$a_2 = 9m/s^2$
设再经过时间$t_2$，棒CD与U形框共速，则有$v_0 + a_2t_2 = v_1$
解得$t_2 = \frac{1}{9}s$
此过程U形框匀速运动的距离为$x = v_1t_2 = 2.5×\frac{1}{9}m = \frac{5}{18}m$
经分析，当二者共速时，U形框还在两虚线间区域($x ＜ 0.3m$)，此后U形框无论是在两虚线区域还是离开两虚线下边界后，都不会再匀速运动，故U形框匀速运动的距离为$x = \frac{5}{18}m$
思路点拨
对于牛顿第二定律的综合应用问题，关键是弄清楚物体的运动过程和受力情况，利用牛顿第二定律或运动学公式求解加速度，再根据题目要求进行解答；加速度是联系力和运动的桥梁。
第
(1)问棒和框在没有进入两虚线间前一起做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律、运动学公式进行解答。
第
(2)问棒进入虚线区域时受到的“神秘力”方向沿斜面向上，对棒根据平衡条件列方程，此时U形框向下做匀加速运动，根据平衡条件、牛顿第二定律、运动学公式列方程进行解答。
第
(3)问对U形框根据运动学公式计算时间，对棒根据匀速直线运动的规律求解两虚线区域的宽度。
第
(4)问根据运动学公式求解棒加速至与U形框共速经过的时间，分析框匀速运动的位移，结合两虚线间区域的宽度分析共速时框是否离开两虚线间区域以及共速后框的运动情况，由此得到U形框匀速运动的距离。