《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版宁夏专版》

9. “任意一个个位数字是5的自然数,平方后的末两位数(即十位数字和个位数字组成的两位数)一定是25”. 这一结论可用下面的方法进行证明.
解：设个位数字是5的自然数为$10a+5$($a$为自然数),则$(10a+5)^{2}= 100a^{2}+100a+25= 100(a^{2}+a)+25$.
这说明平方后的末两位数一定是25.
请你探索下面的问题：“任意一个末两位数是25的自然数,平方后的末三位数(即依次由百位、十位和个位数字组成的三位数)一定是多少?”并给出证明.

答案： 解：平方后的末三位数一定是 625.
证明：设末尾数字是 25 的自然数为$100a+25$（$a$为自然数），则$(100a+25)^{2}=10000a^{2}+5000a+625=1000(10a^{2}+5a)+625.$这说明平方后的末三位数一定是 625.

10. 【数形结合】两个边长分别为$a和b$的正方形($a＞b$)如图放置(图①②③),若图①,②,③中阴影部分的面积分别记为$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$.
(1)用含$a$,$b的式子分别表示S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$；
(2)若$S_{1}= 1$,$S_{3}= 3$,求$S_{2}$的值；
(3)若对于任意的正数$a$,$b$,都有$S_{1}+mS_{3}= kS_{2}$($m$,$k$为常数),求$m$,$k$的值.

答案： （1）解：$S_{1}=(a-b)^{2}$；$S_{2}=(a^{2}+b^{2})-[\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}(a+b)b]=\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}$；$S_{3}=\frac{1}{2}ab$.
（2）当$S_{1}=1$，$S_{3}=3$时，$\left\{\begin{array}{l}(a-b)^{2}=1,\frac{1}{2}ab=3,\end{array}\right.$解得$ab=6$，$a^{2}+b^{2}=13$.$\therefore\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{13}{2}$，$\frac{1}{2}ab=3$，$\therefore S_{2}=\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}ab=\frac{13}{2}-3=\frac{7}{2}$.
（3）$\because$对于任意的正数$a$，$b$，都有$S_{1}+mS_{3}=kS_{2}$（$m$，$k$为常数），$\therefore(a-b)^{2}+m(\frac{1}{2}ab)=k(\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2})$，整理得$2(a^{2}+b^{2})+ab(m-4)=(a^{2}+b^{2})k+ab(-k)$.$\because m$，$k$为常数，$\therefore$由待定系数法得$k=2$，$m-4=-k$，解得$m=2$，$k=2$.