《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版宁夏专版》

1. 用简便方法计算：
(1)$199^{2}$；
(2)$(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)+1$.

答案： （1）解：原式$=(200-1)^{2}=200^{2}-2×200+1=40000-400+1=39601.$
（2）解：原式$=(2-1)(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)+1=(2^{2}-1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)+1=(2^{4}-1)(2^{4}+1)+1=2^{8}-1+1=256.$

2. (长沙市中考)先化简,再求值：$2m-m(m-2)+(m+3)(m-3)$,其中$m= \frac {5}{2}$.

答案： 解：原式$=2m-m^{2}+2m+m^{2}-9=4m-9.\because m=\frac{5}{2},\therefore$原式$=4×\frac{5}{2}-9=1.$

3. 当$x= 1$时,$ax+b+1的值为-3$,求$(a+b+1)(1-a-b)$的值.

答案： 解：$(a+b+1)(1-a-b)=[1+(a+b)][1-(a+b)]=1-(a+b)^{2}.$当$x=1$时，$ax+b+1=a+b+1=-3,\therefore a+b=-4.\therefore$原式$=1-(-4)^{2}=-15.$

4. 如果$(a+b)^{2}= 16$,$(a-b)^{2}= 4$,且$a$,$b$是长方形的长和宽,那么这个长方形的面积是3.

答案： 3

5. 已知$a+b= 8$,$a^{2}b^{2}= 4$,则$\frac {a^{2}+b^{2}}{2}-ab= $28 或 36.

答案： 28 或 36

6. 已知$x^{2}+y^{2}= 34$,$x+y= 2$,求$xy和x-y$的值.

答案： 解：$\because x^{2}+y^{2}=34,x+y=2,x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy,\therefore34=2^{2}-2xy,\therefore xy=-15.\therefore(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}=34-2×(-15)=64.\therefore x-y=\pm8.$

7. 已知$(a+b)^{2}= 5$,$(a-b)^{2}= 3$,求下列式子的值：
(1)$a^{2}+b^{2}$；
(2)$6ab$.

答案： （1）解：$\because(a+b)^{2}=5,(a-b)^{2}=3,\therefore a^{2}+2ab+b^{2}=5,a^{2}-2ab+b^{2}=3.\therefore a^{2}+2ab+b^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}=2(a^{2}+b^{2})=8.\therefore a^{2}+b^{2}=4.$
（2）$\because a^{2}+b^{2}=4,(a+b)^{2}=5,\therefore a^{2}+2ab+b^{2}=4+2ab=5,\therefore ab=\frac{1}{2},\therefore6ab=3.$

8. 发现：任意三个连续偶数的平方和是4的倍数.
(1)$(-2)^{2}+0^{2}+2^{2}$的结果是4的几倍?
(2)设三个连续偶数的中间一个数为$2x$,写出它们的平方和,并说明是4的倍数；
(3)任意三个连续数的平方和,设中间一个为$x$,被3除余数是几? 请直接写出结果.

答案： （1）解：$(-2)^{2}+0^{2}+2^{2}=4+4=8,8÷4=2,\therefore$是 4 的 2 倍.
（2）若三个连续偶数的中间一个数为$2x$，则另外两个偶数分别为$2x-2$和$2x+2$，平方和为$(2x-2)^{2}+(2x)^{2}+(2x+2)^{2}=4x^{2}-8x+4+4x^{2}+4x^{2}+8x+4=12x^{2}+8=4(3x^{2}+2),\therefore$其平方和是 4 的倍数.
（3）被 3 除余数是 2.