《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版宁夏专版》

10. 对于任意整数 $m$,多项式 $(4m + 5)^{2}-49$ 都能(A)
A.被 8 整除
B.被 $m$ 整除
C.被 $(m - 3)$ 整除
D.被 $(2m + 1)$ 整除

答案： A

11. (广西自治区中考改编)如果 $a + b = 3$,$ab = 1$,那么 $a^{3}b + 2a^{2}b^{2}+ab^{3}$ 的值为9.

答案： 9

12. (教材第 132 页练习第 1 题变式)分解因式：
(1)$4ab^{2}-4a^{2}b - b^{3}$；
(2)$x^{2}(a - 1)+y^{2}(1 - a)$；
(3)$(x - 1)(x - 3)+1$.

答案：
(1)解:原式$=-b^{3}+4ab^{2}-4a^{2}b=-b(b^{2}-4ab+4a^{2})=-b(b-2a)^{2}.$
(2)解:原式$=x^{2}(a-1)-y^{2}(a-1)=(a-1)(x^{2}-y^{2})=(a-1)(x+y)(x-y)$.
(3)解:原式$=x^{2}-4x+3+1=x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.$

13. 【原创题】已知 $x + y = 3$,$x - y = -2$,求 $(x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}$ 的值.

答案： 解:$(x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+2xy+y^{2})(x^{2}-2xy+y^{2})=(x+y)^{2}(x-y)^{2}$.将$x+y=3,x-y=-2$代入,得原式$=3^{2}×(-2)^{2}=9×4=36.$

14. 【分组分解法】阅读下列材料：
分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法,但有部分项数多于 3 的多项式只单纯用上述方法就无法分解,如 $m^{2}-2mn + n^{2}-16$,我们细心观察这个式子就会发现,前三项符合完全平方公式,进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解.
过程如下：$m^{2}-2mn + n^{2}-16= (m - n)^{2}-16= (m - n + 4)(m - n - 4)$,这种分解因式的方法叫分组分解法.
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)用“分组分解法”分解因式：$a^{2}-2ab + b^{2}+a - b$；
(2)已知 $a$,$b$,$c$ 为 $\triangle ABC$ 的三边长,且 $b^{2}-2ac = c^{2}-2ab$,试判断 $\triangle ABC$ 的形状.

答案：
(1)解:原式$=(a-b)^{2}+(a-b)=(a-b)(a-b+1)$.
(2)$\because b^{2}-2ac=c^{2}-2ab,\therefore b^{2}-c^{2}-2ac+2ab=0$,即$(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0,\therefore (b-c)(b+c+2a)=0,\because a,b,c$为$\triangle ABC$的三边长,$\therefore b+c+2a＞0,\therefore b-c=0,\therefore b=c,\therefore \triangle ABC$为等腰三角形.