《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版宁夏专版》

10. (教材第46页第17题变式)如图所示,已知$D是\triangle ABC的边AB$上一点,$DF交AC于点E$,$DE= EF$,$FC// AB$。若$BD= 2$,$CF= 5$,则$AB$的长为______。

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答案： 7

11. 如图,点$A$,$D$,$C$,$F$在同一直线上,$AB// DE$,$\angle B= \angle E$,$BC= EF$。求证：$AD= CF$。

答案： 证明:
∵AB//DE,
∴∠A=∠EDF.在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠EDF,∠B=∠E,BC=EF,
∴ △ABC ≌△DEF(AAS).
∴AC=DF,
∴AC - DC=DF - DC,即 AD=CF.

12. 【原创题】如图,点$B$,$F$,$C$,$E在直线l$上($F$,$C$之间不能直接测量),点$A$,$D在l$异侧,测得$AB= DE$,$AB// DE$,$\angle A= \angle D$。
(1)求证：$\triangle ABC\cong\triangle DEF$；
(2)若$BE= 10m$,$BF= 3m$,求$FC$的长度。

答案：
(1)证明:
∵AB//DE,
∴∠ABC=∠DEF,在△ABC 和△DEF 中,∠ABC=∠DEF,AB=DE,∠A=∠D,
∴ △ABC ≌△DEF(ASA).
(2)解:
∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF,
∴BF+FC=EC+FC,
∴BF=EC,
∵BE=10m,BF=3m,
∴FC=10 - 3 - 3=4(m).

13. 【类比探究】如图①,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= BC$,过点$C在\triangle ABC外作直线MN$,$AM\perp MN于点M$,$BN\perp MN于点N$。
(1)求证：$MN= AM+BN$；
(2)如图②,若过点$C作直线MN与线段AB$相交,$AM\perp MN于点M$,$BN\perp MN于点N$($AM＞BN$),(1)中的结论是否仍然成立？若不成立,请写出正确的结论,并说明理由。
]

答案：
(1)证明:
∵AM⊥MN,BN⊥MN,
∴∠AMC=∠CNB=90°,
∴∠MAC+∠ACM=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACM+∠NCB=90°,
∴∠MAC=∠NCB.在△ACM 和△CBN 中,∠AMC=∠CNB,∠MAC=∠NCB,AC=BC,
∴△ACM≌△CBN(AAS),
∴AM=CN,CM=BN,
∴MN=CN+MC=AM+BN.
(2)解:
(1)中的结论不成立,正确的结论为 MN=AM - BN.理由如下:同
(1)可证△ACM≌△CBN(AAS),
∴AM=CN,CM=BN,
∴MN=CN - CM=AM - BN.