《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版宁夏专版》

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC\perp BC$,$CE\perp AB$,$AF平分\angle CAB交CE于点F$,过点$F作FD// BC交AB于点D$. 求证：$AC = AD$.

答案：
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=
∠DAF，
∵AC⊥BC，CE⊥AB，
∴
∠ACF+∠BCE=90°，∠B+
∠BCE=90°，
∴∠ACF=∠B，
∵
FD//BC，
∴∠B=∠ADF，
∴
∠ACF=∠ADF，在△ACF和
∠ACF=∠ADF，
△ADF中，∠CAF=∠DAF，
∴
AF=AF，
△ACF≌△ADF（AAS），
∴AC=
AD.

6. 如图,在四边形$ABCD$中,$E是CB$上一点,分别延长$AE$,$DC相交于点F$,$AB = CF$,$\angle CEA = \angle B + \angle F$. 若$BC = 10$,求$BE$的长.

答案： 解：
∵∠CEA是△ABE的外角，
∴
∠CEA=∠B+∠EAB.又
∵∠CEA
=∠B+∠F，
∴∠EAB=∠F.在
△ABE 和 △FCE 中，
∠AEB=∠FEC，
∠EAB=∠F，
∴ △ABE≌
AB=FC，
△FCE（AAS）.
∴BE=CE.
∵BC=
10，
∴BE=5.

7. 如图,$\triangle ABC的顶点A$,$B和\triangle DEF的顶点D$,$E$在同一条直线上,且$\angle A = \angle EDF$,$\angle C = \angle F$,请再添加一个条件,使得 $BC = EF$,并说明理由.

答案： 解：答案不唯一.例如添加的条件为
AC=DF.理由：在△ABC和△DEF
中，∠A=∠EDF，
AC=DF，
∴ △ABC≌
∠C=∠F，
△DEF（ASA）.
∴BC=EF.

8. 如图,点$A$,$C$,$D$,$B$在同一条直线上,且 $AC = BD$,$\angle A = \angle B$,$\angle E = \angle F$.
(1) 求证：$\triangle ADE\cong\triangle BCF$.
(2) 若$\angle BCF = 75^{\circ}$,求$\angle CMD$的度数.

答案： （1）证明：
∵AC=BD，
∴AC+CD=
BD+CD，即AD=BC.在△ADE和
△BCF中，∠E=∠F，
∠A=∠B，
∴ △ADE
AD=BC，
≌△BCF（AAS）. （2）解：
∵
△ADE≌△BCF，
∴∠ADE=
∠BCF=75°.
∴∠CMD=180°-
∠BCF-∠ADE=30°.