《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版宁夏专版》

1. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle A = 30^{\circ} $,$ BC = 3 $,则 $ AB $ 的长为 (B)

A.9
B.6
C.4.5
D.3

答案： B

2. 如图,一棵树在一次台风中于离地面 4m 处折断倒下,倒下部分与地面成 $ 30^{\circ} $ 夹角,这棵树在折断前的高度为12m.

答案： 12

3. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle B = 30^{\circ} $,$ AB $ 的垂直平分线 $ ED $ 交 $ AB $ 于点 $ E $,交 $ BC $ 于点 $ D $. 若 $ CD = 3 $,则 $ BD $ 的长为6.

答案： 6

4. 如图所示,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle A = 30^{\circ} $,$ BD \perp AD $ 于点 $ D $,$ DC // AB $,$ AB = 10cm $,求 $ DC $ 的长.

答案： 解:
∵BD⊥AD，∠A = 30°，
∴∠ABD = 60°，BD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×10 = 5(cm)。
∵∠C = 90°，DC//AB，
∴∠CBA = 180° - ∠C = 90°，
∴∠CBD = ∠CBA - ∠ABD = 30°，
∴CD = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}$×5 = $\frac{5}{2}$(cm)

5. 【分类讨论思想】如图所示,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle A = 30^{\circ} $,$ AB = 8 $. 若点 $ D $ 在直线 $ AB $ 上(不与点 $ A $,$ B $ 重合),且 $ \angle BCD = 30^{\circ} $,则 $ AD $ 的长为6或12.

答案： 6或12

6. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle B = \angle C = 60^{\circ} $,点 $ D $ 为 $ AB $ 边的中点,$ DE \perp BC $,若 $ BE = 1 $,则 $ AC $ 的长为 (C)

A.2
B.3
C.4
D.6

答案： C

7. 如图,$ OP $ 平分 $ \angle AOB $,$ \angle AOP = 15^{\circ} $,$ PC // OA $,$ PD \perp OA $ 于点 $ D $. 若 $ PC = 4 $,则线段 $ PD $ 的长为2.

答案： 2

8. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle B = 30^{\circ} $,$ BC = 6 $,$ AD $ 平分 $ \angle CAB $ 交 $ BC $ 于点 $ D $,点 $ E $ 为边 $ AB $ 上一点,则线段 $ DE $ 长度的最小值为2.

答案： 2

9. 如图,$ \triangle ABC $ 为等边三角形,$ AE = CD $,$ AD $,$ BE $ 相交于点 $ P $,$ BQ \perp AD $ 于点 $ Q $,$ PQ = 3 $,$ PE = 1.5 $.
(1)求证：$ BE = AD $；
(2)求 $ AD $ 的长.

答案：
(1)证明:
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC = ∠C = 60°，AB = AC。在△ABE和△CAD中，
$\begin{cases}AB = CA\\∠BAE = ∠C\\AE = CD\end{cases}$
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴BE = AD。
(2)解:由
(1)知，△ABE≌△CAD，
∴∠ABE = ∠CAD，
∴∠BAD + ∠ABE = ∠BAD + ∠CAD = ∠BAC = 60°，
∴∠BPQ = ∠BAP + ∠ABP = 60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ = 90° - ∠BPQ = 90° - 60° = 30°，
∴PB = 2PQ = 6，
∴BE = PB + PE = 6 + 1.5 = 7.5，
∴AD = BE = 7.5。