《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版宁夏专版》

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$BE$是角平分线,$CF平分外角\angle BCD$,$BF\perp CF于点F$,若$\angle A= 62^{\circ}$,求$\angle EBF$的度数.

答案： 3. 解:延长 BE、FC 交于点 P,可证得∠P=$\frac{1}{2}$∠A=$\frac{1}{2}$×62°=31°.又
∵BF⊥CF,
∴∠F=90°,
∴∠EBF=59°.

拓展2:两外角平分线的夹角
4. (1)如图,$BO平分\triangle ABC的外角\angle DBC$,$CO平分\triangle ABC的外角\angle ECB$,则$\angle BOC与\angle A$的等量关系为∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A;
(2)请证明上述结论.

答案： 4.
(1)∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A
(2)证明:如图,
∵BO,CO 分别是△ABC 的外角∠DBC,∠ECB 的平分线,
∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A,∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A.
∴2∠1+2∠2=∠A+∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°.
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$∠A+90°.又
∵∠1+∠2+∠BOC=180°.
∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-( $\frac{1}{2}$∠A+90°)=90°-$\frac{1}{2}$∠A.

5.【动点问题】如图,已知点$A$,$B分别在\angle MON的边ON$,$OM$上(不与点$O$重合),$AD平分\angle BAN$,$BC平分\angle ABM$,直线$AD$,$BC相交于点C$.
(1)如图①,若$\angle MON= 90^{\circ}$,求$\angle ACB$的度数.
(2)如图②,在(1)的基础上,若$\angle MON每秒减少10^{\circ}$,经过了$t秒(0\lt t\lt9)$.
①试用含$t的代数式表示\angle ACB$的度数;
②并求出当$t$取何值时,$\angle MON与\angle ACB$的度数相等.

答案： 5.
(1)解:
∵AD 平分∠BAN,BC 平分∠ABM,
∴2∠CAB=∠BAN,2∠ABC=∠ABM.又
∵∠BAN=∠O+∠OBA,∠ABM=∠O+∠OAB,
∴∠BAN+∠ABM=2∠CAB+2∠ABC=∠O+∠OBA+∠O+∠OAB,
∴2(∠CAB+∠ABC)=180°+∠O.
∴∠CAB+∠ABC=90°+$\frac{1}{2}$∠O.
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ACB=180°-(90°+$\frac{1}{2}$∠O)=90°-$\frac{1}{2}$∠O=45°.
(2)①在
(1)的基础上,若∠MON 每秒减少10°,则经过 t 秒后,∠MON=90°-10t°.
∴∠ACB=90°-$\frac{1}{2}$∠MON=90°-$\frac{1}{2}$(90°-10t°)=90°-45°+5t°=(45+5t)°. ②由题意,得90 - 10t=45+5t,解得 t=3,
∴当 t=3 时,∠MON 与∠ACB 的度数相等.