《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版宁夏专版》

1. 如图,$AB = DC$,$AC = DB$.
(1) 求证：$\triangle ABC\cong\triangle DCB$；
(2) 若$\angle A = 90^{\circ}$,$\angle DBC = 35^{\circ}$,求$\angle ABD$的度数.

答案： （1）证明：在△ABC和△DCB中，
AB=DC，
AC=DB，
∴ △ABC≌△DCB
BC=CB，
（SSS）. （2）解：
∵ △ABC≌
△DCB，
∴ ∠DBC=∠ACB，
∵
∠DBC=35°，
∴∠ACB=∠DBC=
35°.
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，
∴∠ABC=90°-∠ACB=90°-35°
=55°.
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC
=55°-35°=20°.

2. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D是BC$的中点,$DE\perp AB于点E$,$DF\perp AC于点F$,且$DE = DF$. 求证：
(1)$BE = FC$；
(2)$AB = AC$.

答案： （1）证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴
∠DEB=∠DFC=90°.又
∵D是
BC的中点，
∴BD=DC.又
∵DE=
DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=FC. （2）连接AD.
∵DE=
DF，AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt
△ADF（HL），
∴AE=AF，由（1）知
BE=FC，
∴AE+BE=AF+FC，即
AB=AC.

3. 如图,已知$AB = CD$,$AB// CD$,$E$,$F是AC$上两点,且$AF = CE$. 求证：$\triangle ABE\cong\triangle CDF$.

答案： 证明：
∵AB//CD，
∴∠A=∠DCF.
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，
即AE=CF.在△ABE和△CDF
中，AB=CD，
∠A=∠DCF，
∴ △ABE≌
AE=CF，
△CDF（SAS）.

4. 如图,在四边形$ABCD$中,点$E在AD$上,$\angle BCE = \angle ACD = 90^{\circ}$,$\angle 1 = \angle D$,$BC = CE$. 求证：$AC = CD$.

答案： 证明：
∵∠BCE=∠ACD=90°，即
∠3+∠4=∠4+∠2，
∴∠3=∠2.
在 △ABC 和 △DEC 中，
∠1=∠D，
∠3=∠2，
∴ △ABC≌△DEC
BC=EC，
（AAS），
∴AC=CD.