《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版宁夏专版》

变式:两内角平分线的夹角
1. 如图,在$\triangle ABC$中,$P是\angle ABC$,$\angle ACB$的平分线的交点.
(1)若$\angle A= 80^{\circ}$,求$\angle BPC$的度数;
(2)有位同学在解答(1)后得出$\angle BPC= 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$的规律,你认为正确吗? 请说明理由.

答案： 1.
(1)解:
∵BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°-80°)=50°.
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-50°=130°.
(2)正确.理由如下:
∵BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°-$\frac{1}{2}$∠A.
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-(90°-$\frac{1}{2}$∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A.

拓展1:一内角平分线与一外角平分线的夹角
2.【一题多设问】如图,在$\triangle ABC$中,$BE是\angle ABC$的平分线,$CE是外角\angle ACM$的平分线,$BE与CE相交于点E$.
(1)若$\angle ABC= 50^{\circ}$,$\angle ACB= 60^{\circ}$,求$\angle E$的度数;
(2)若$\angle A= 60^{\circ}$,求$\angle E$的度数;
(3)根据(1)(2)的结论,请直接写出$\angle E与\angle A$之间的数量关系.

答案： 2.
(1)解:
∵∠ACB=60°,
∴∠ACM=180°-∠ACB=120°.
∵BE 是∠ABC 的平分线,CE 是外角∠ACM 的平分线,
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=25°,∠ECM=$\frac{1}{2}$∠ACM =60°.
∵∠ECM=∠EBC+∠E,
∴∠E=∠ECM-∠EBC=60°-25°=35°.
(2)
∵∠ACM=∠ABC+∠A,CE 是外角∠ACM 的平分线,
∴∠ECM=$\frac{1}{2}$∠ACM=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠A).又
∵∠ECM=∠EBC+∠E,BE 是∠ABC 的平分线,
∴∠E=∠ECM-∠EBC=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠A)-$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A=30°.
(3)∠E=$\frac{1}{2}$∠A.