《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版宁夏专版》

9. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,分别以点 $ B $ 和点 $ C $ 为圆心,大于 $ \frac{1}{2}BC $ 长为半径画弧,两弧相交于点 $ M $,$ N $,作直线 $ MN $,交 $ AC $ 于点 $ D $,交 $ BC $ 于点 $ E $,连接 $ BD $.若 $ AB = 7 $,$ AC = 12 $,$ BC = 6 $,则 $ \triangle ABD $ 的周长为 (C)

A.25
B.22
C.19
D.18

答案： C

10. 【原创题】如图,已知直线 $ l $ 及直线 $ l $ 外一点 $ P $,观察图中的尺规作图痕迹,则下列结论不一定成立的是______(填序号).
① $ PQ $ 为直线 $ l $ 的垂线；② $ CA = CB $；
③ $ PO = QO $；④ $ \angle APO = \angle BPO $.

③

答案： ③

11. 如图,校园内有两条路 $ OA $,$ OB $,在交叉口附近有两块宣传牌 $ C $,$ D $,学校准备安装一盏路灯,要求灯柱 $ P $ 的位置到两块宣传牌的距离相等,并且到两条路的距离也相等,请你帮忙画出灯柱 $ P $ 的位置.

答案：
解:如图,点P即为所求.

12. 如图,$ \triangle ABC $ 和 $ \triangle A'B'C' $ 关于直线 $ MN $ 对称,$ \triangle A'B'C' $ 和 $ \triangle A''B''C'' $ 关于直线 $ EF $ 对称.
(1)画出直线 $ EF $；
(2)直线 $ MN $ 与 $ EF $ 相交于点 $ O $,试探究 $ \angle BOB'' $ 与直线 $ MN $,$ EF $ 所夹锐角 $ \alpha $ 的数量关系.

答案：

(1)解:如图所示
(2)连接BO、B'O、B''O,
∵△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,
∴∠BOM=∠B'OM.又
∵△A'B'C'和△A''B''C''关于直线EF对称,
∴∠B'OE=∠B''OE.
∴∠BOB''=∠BOM+∠B'OM+∠B'OE+∠B''OE=2(∠B'OM+∠B'OE)=2α,即∠BOB''=2α.

13. 【核心素养·模型观念】
(1)如图①,在 $ \triangle ABC $ 中,直线 $ ME $ 垂直平分 $ AB $,分别交 $ AB $,$ BC $ 于点 $ E $,$ M $,直线 $ NF $ 垂直平分 $ AC $,分别交 $ AC $,$ BC $ 于点 $ F $,$ N $.
求证：$ \triangle AMN $ 的周长等于 $ BC $ 的长；
(2)如图②,在 $ \angle AOB $ 的内部有一定点 $ P $,试分别在 $ OA $,$ OB $ 上确定 $ C $,$ D $ 两点,使得 $ \triangle PCD $ 的周长最短(保留作图痕迹,不写作法).

答案：

(1)证明:
∵直线ME垂直平分AB,
∴BM=AM.
∵直线NF垂直平分AC,
∴AN=CN.将△AMN的周长记为C△AMN.
∴C△AMN=AM+MN+AN=BM+MN+CN=BC,即△AMN的周长等于BC的长.
(2)解:如图②,△PCD即为所求.