《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版宁夏专版》

1. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,BE⊥AD 于点 E. 探究∠ABE,∠DBE,∠C 之间的数量关系.

答案： 解:延长 BE 交 AC 于点 F,
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAE=∠FAE.又
∵AE=AE,∠AEB=∠AEF=90°,
∴△ABE≌△AFE(ASA),
∴∠ABE=∠AFE,
∵∠AFE=∠DBE+∠C,
∴∠ABE=∠DBE+∠C.

2. 如图,在△ABC 中,∠B = 60°,∠BAC 与∠BCA 的平分线 AD,CE 分别交 BC 和 AB 于点 D,E,AD 与 CE 相交于点 F,求证：AE + CD = AC.

答案： 证明:
∵∠B=60°,
∴∠BAC+∠BCA=180°-60°=120°,
∵AD,CE 分别平分∠BAC 与∠BCA,
∴∠FAC=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠FCA=$\frac{1}{2}$∠BCA,
∴∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠BCA)=$\frac{1}{2}$×120°=60°,
∴∠AFC=120°,∠AFE=60°,在 AC 上截取 AG=AE,连接 GF,
∵AD,CE 分别平分∠BAC 与∠BCA,
∴∠FAE=∠FAG,∠FCG=∠FCD,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴∠AFG=∠AFE=60°,
∴∠CFG=∠CFD=60°,
∴△CDF≌△CGF(ASA),
∴CD=CG,
∴AE+CD=AG+CG=AC.
∴AE+CD=AC.

3. 如图,△ABC 中,D 为 BC 的中点.
(1) 求证：AB + AC ＞ 2AD；
(2) 若 AB = 5,AC = 3,求 AD 的取值范围.

答案：
(1)证明:延长 AD 至 E,使 DE=AD,连接 BE.
∵D 为 BC 的中点,
∴BD=CD.在△ADC 和△EDB 中,$\left\{\begin{array}{l} AD=ED,\\ ∠ADC=∠EDB,\\ CD=BD,\end{array}\right. $
∴△ADC≌△EDB(SAS).
∴AC=BE.在△ABE 中,AB+BE＞AE,
∴AB+AC＞2AD.
(2)解:
∵AB=5,AC=3,
∴5-3＜2AD＜5+3.
∴1＜AD＜4.

4. 【大单元整合】已知在△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = AC,将△ABC 放在平面直角坐标系中,如图所示.
(1) 如图①,若 A(1,0),B(0,3),求 C 点坐标.
(2) 如图②,若 A(1,3),B(-1,0),则 C 点坐标为(4,1).

答案：
(1)解:作 CD⊥x 轴于点 D.则∠CAD+∠ACD=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAO+∠CAD=90°,
∴∠BAO=∠ACD.在△ABO 和△CAD 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠AOB=∠ADC=90°,\\ ∠BAO=∠ACD,\\ AB=AC,\end{array}\right. $
∴△ABO≌△CAD(AAS),
∴BO=AD,OA=CD.
∵A(1,0),B(0,3),
∴OA=1,OB=3,
∴AD=3,CD=1,
∴OD=OA+AD=4,
∴C(4,1).
(2)(4,1)