《2025年新课标学习方法指导丛书七年级数学上册浙教版》

12. $a$是不为1的有理数,我们把$\frac{1}{1-a}称为a$的差倒数。如：3的差倒数是$\frac{1}{1-3}= -\frac{1}{2}$,$-1的差倒数是\frac{1}{1-(-1)}= \frac{1}{2}$。已知$a_{1}= 2$,$a_{2}是a_{1}$的差倒数,$a_{3}是a_{2}$的差倒数,$a_{4}是a_{3}$的差倒数……以此类推,则$a_{2012}= $-1。

答案： -1

13. 定义一种新运算为$a*b= \frac{a+b}{1+ab}$,计算下列题目。
(1)$\frac{1}{2}*\frac{1}{5}$。
(2)$[(\frac{1}{2}*\frac{1}{5})]*(-1)$。

答案：
(1) 根据新运算的定义，我们有：
$\frac{1}{2}*\frac{1}{5} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{5}}{1 + \frac{1}{2} × \frac{1}{5}}$
$= \frac{\frac{5}{10} + \frac{2}{10}}{1 + \frac{1}{10}}$
$= \frac{\frac{7}{10}}{\frac{10}{10} + \frac{1}{10}}$
$= \frac{\frac{7}{10}}{\frac{11}{10}}$
$= \frac{7}{11}$
(2) 接下来，我们利用上一步的结果来计算第二部分：
$[(\frac{1}{2}*\frac{1}{5})]*(-1)$
$= \frac{7}{11}*(-1)$
$= \frac{\frac{7}{11} - 1}{1 - \frac{7}{11}}$
$= \frac{-\frac{4}{11}}{\frac{4}{11}}$
$= -1$

14. 数学老师布置了一道思考题“计算：$(-\frac{1}{12})÷(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})$”,小明仔细思考了一番：原式的倒数为$(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})÷(-\frac{1}{12})= (\frac{1}{3}-\frac{5}{6})×(-12)= -4+10= 6$,所以$(-\frac{1}{12})÷(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})= \frac{1}{6}$。
(1)请你通过计算验证小明的解法的正确性。
直接计算：$\frac{1}{3} - \frac{5}{6} = \frac{2}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$，$(-\frac{1}{12}) ÷ (-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{12}) × (-2) = \frac{1}{6}$，与小明结果一致，正确。
(2)由此可以得到结论：一个数的倒数的倒数等于原数。
(3)请你运用小明的解法计算：$(-\frac{1}{24})÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{3}{8})$。
原式的倒数为$(\frac{1}{3} - \frac{1}{6} + \frac{3}{8}) ÷ (-\frac{1}{24}) = (\frac{1}{3} - \frac{1}{6} + \frac{3}{8}) × (-24) = \frac{1}{3} × (-24) - \frac{1}{6} × (-24) + \frac{3}{8} × (-24) = -8 + 4 - 9 = -13$，所以原式$= -\frac{1}{13}$

答案：
(1) 直接计算：$\frac{1}{3} - \frac{5}{6} = \frac{2}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$，$(-\frac{1}{12}) ÷ (-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{12}) × (-2) = \frac{1}{6}$，与小明结果一致，正确。
(2) 原数
(3) 原式的倒数为$(\frac{1}{3} - \frac{1}{6} + \frac{3}{8}) ÷ (-\frac{1}{24}) = (\frac{1}{3} - \frac{1}{6} + \frac{3}{8}) × (-24) = \frac{1}{3} × (-24) - \frac{1}{6} × (-24) + \frac{3}{8} × (-24) = -8 + 4 - 9 = -13$，所以原式$= -\frac{1}{13}$