《2025年学习与评价江苏教育出版社九年级数学上册苏科版》

例1 如图2-26,在△ABC中,点E是内心,AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DE= DB.
分析 由于DE、DB在同一个三角形中,所以连接BE,可转化为证明这两条边所对的角相等.
证明 连接BE.
∵点E是△ABC的内心,
∴∠1= ∠2,∠3= ∠4.
∵∠2= ∠5,
∴∠1= ∠5.
∴∠1+∠3= ∠4+∠5.
∴∠BED= ∠EBD.
∴DE= DB.

答案： 【解析】：本题考查了圆周角定理以及内心的性质，通过内心的性质得到角之间的相等关系，再利用圆周角定理进一步推导，从而证明线段相等。
证明过程如下：
连接$BE$。
因为点$E$是$\triangle ABC$的内心，根据内心的性质可知，内心是三角形三条角平分线的交点，所以$\angle 1 = \angle 2$，$\angle 3 = \angle 4$。
又因为在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，$\angle 2$与$\angle 5$是同弧$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，所以$\angle 2 = \angle 5$，进而可得$\angle 1 = \angle 5$。
由$\angle 1 = \angle 5$，$\angle 3 = \angle 4$，可得$\angle 1 + \angle 3 = \angle 4 + \angle 5$。
在$\triangle BED$中，$\angle BED$是$\angle 1$与$\angle 3$的外角之和，$\angle EBD$是$\angle 4$与$\angle 5$的和，所以$\angle BED = \angle EBD$。
根据等角对等边的性质，在$\triangle BED$中，因为$\angle BED = \angle EBD$，所以$DE = DB$。
【答案】：证明：连接$BE$。
∵点$E$是$\triangle ABC$的内心，
∴$\angle 1 = \angle 2$，$\angle 3 = \angle 4$。
∵$\angle 2 = \angle 5$（同弧所对的圆周角相等），
∴$\angle 1 = \angle 5$。
∴$\angle 1 + \angle 3 = \angle 4 + \angle 5$。
∴$\angle BED = \angle EBD$。
∴$DE = DB$。

例2 如图2-27,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AB、BC、CA的长分别为c、a、b.求△ABC的内切圆半径r.
分析 连接OA、OB、OC,△ABC被分为三个小三角形.
解 连接OA、OB、OC,则S△ABC= S△OAB+S△OBC+S△OCA.
∵S△OAB= $\frac{1}{2}AB·r$,S△OBC= $\frac{1}{2}BC·r$,S△OCA= $\frac{1}{2}AC·r$,
∴S△ABC= $\frac{1}{2}(a+b+c)·r$.
又S△ABC= $\frac{1}{2}ab$,
∴$\frac{1}{2}(a+b+c)·r= \frac{1}{2}ab$.
∴$r= \frac{ab}{a+b+c}$,
即△ABC的内切圆半径r为$\frac{ab}{a+b+c}$.

答案： 解：连接OA、OB、OC。
∵S△ABC = S△OAB + S△OBC + S△OCA，
S△OAB = $\frac{1}{2}AB·r = \frac{1}{2}cr$，
S△OBC = $\frac{1}{2}BC·r = \frac{1}{2}ar$，
S△OCA = $\frac{1}{2}AC·r = \frac{1}{2}br$，
∴S△ABC = $\frac{1}{2}(a + b + c)r$。
又
∵∠C = 90°，
∴S△ABC = $\frac{1}{2}ab$。
∴$\frac{1}{2}(a + b + c)r = \frac{1}{2}ab$，
解得$r = \frac{ab}{a + b + c}$。
即△ABC的内切圆半径r为$\frac{ab}{a + b + c}$。

1. 填空题：
(1)点I是△ABC的内心,且∠ABC= 50°,∠ACB= 70°,则∠BIC= 120°.
(2)如图,在△ABC中,∠A= 68°.若点O是△ABC的外心,则∠BOC= 136°；若点O是△ABC的内心,则∠BOC= 124°.

答案： 120
136
124