《2025年学习与评价江苏教育出版社九年级数学上册苏科版》

2. 判定下列各方程后面括号内的两个数是否为它的两个根.
(1)$x^{2}+5x+4= 0$,(1,4);
(2)$x^{2}-6x-7= 0$,(-1,7);
(3)$2x^{2}-3x+1= 0$,$(\dfrac{1}{2},1)$;
(4)$3x^{2}+5x-2= 0$,$(-\dfrac{1}{3},2)$;
(5)$x^{2}-8x+11= 0$,$(4-\sqrt{5},4+\sqrt{5})$.

答案： 解：$(1) x_1+x_2=-5≠1+4 $
∴不是方程的两个根
$ (2) x_1+x_2=6=-1+7，$$x_1x_2=-7=-1×7 $
∴是方程的两个根
$ (3) x_1+x_2=\frac 32=\frac 12+1，$$x_1x_2=\frac 12=\frac 12×1 $
∴是方程的两个根
$(4) x_1+x_2=-\frac 53≠-\frac 13+2，$$x_1x_2=-\frac 23=-\frac 13×2 $
∴不是方程的两个根
$ (5) x_1+x_2=8=4-\sqrt{5}+4+\sqrt{5}，$$x_1x_2=11=(4-\sqrt{5})(4+\sqrt{5}) $
∴是方程的两个根

3. 已知关于$x的方程3x^{2}-19x+m= 0$的一个根是1,求它的另一个根及$m$的值.

答案： 解： 将x=1代入得3-19+m=0
m=16
∴$ x_1x_2=\frac {16}3$
∴另外一个根为$ \frac {16}3$

4. 已知矩形相邻两边的长是一元二次方程$x^{2}-12x+9= 0$的两个根,求这个矩形的周长和面积.

答案： 解：$ x^2-12x+9=0$
$ x_1+x_2=-\frac ba=12，$$x_1x_2=\frac ca=9$
∴矩形的周长为$ 2(x_1+x_2)=24，$面积为：$x_1x_2=9$

5. 已知$x_{1}$、$x_{2}是一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0$的两个根,求证:$ax^{2}+bx+c= a(x-x_{1})(x-x_{2})$.

答案： 解： 由题意得$x_1+x_2=-\frac ba，$$x_1x_2=\frac ca$
∴$ a(x-x_1)(x-x_2)=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2]=a[x^2-(-\frac ba)x+\frac ca]=ax^2+bx+c$

某药品经过两次降价,售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.

答案： 解：设每次降价的百分率为x，药品的原价为a元
根据题意可得：$a(1-x)^2=\frac 12a$
解得$x_1=1-\frac {\sqrt{2}}2≈29.3\%，$$ x_2=1+\frac {\sqrt{2}}2($不符合题意，舍去)
∴即每次降价的百分率约为29.3\%