《2025年学习与评价江苏教育出版社九年级数学上册苏科版》

4. 已知:如图,直线l与$\odot O$相交于A、B两点.
(1) 已知点O到直线l的距离为3,$AB= 8$,求$\odot O$的半径.
(2) 已知$\odot O$的半径为5,点O到直线l的距离为3,则$\odot O$上到直线l的距离为2的点有多少个?

答案：
解:
(1)过O点作OE⊥AB ，交圆O于D ，连接AO

∴$ AE= BE=\frac 12AB=4，$OE= 3
在Rt△AHE中，$AO= \sqrt{AE^2+OE^2} =5$
(2)如图：OD=OA=OB=5，OE⊥AB， OE= 3
∴DE=OD -OE=5-3 =2cm
∴点D是圆上到AB距离为2cm的点
∵$OE = 3cm \gt 2cm$
∴在OD上截取OH = 1cm
过点H作GF//AB ，交圆于点G ， F两点，
则有HE⊥ AB ， HE=OE-OH = 2cm
即GF到AB的距离为2cm，
∴点G 、 F也是圆上到AB距离为2cm的点
∴圆O上到直线l的距离为2的点有3个。

5. 已知$Rt\triangle ABC的斜边AB= 4\,cm$, $AC= 2\,cm$.
(1) 以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与$\odot C$相切?
(2) 以点C为圆心,分别以1cm和2cm的长为半径作两个圆,这两个圆分别与AB有怎样的位置关系?

答案：
解:
(1)过C作CD⊥AB于D

∵在Rt△ ABC中，AB = 4cm，AC = 2cm
∴$BC=\sqrt{AB^2- AC^2} = 2\sqrt3cm$
∴$CD=\frac {AC×BC}{AB}=\sqrt3cm$
即以C为圆心作圆，当半径为$\sqrt3cm$时， AB与圆C相切
(2)
∵以C为圆心作圆，当半径为$\sqrt3cm$时，AB与C相切
又
∵$1\lt \sqrt3\lt 2，$
∴以C为圆心，分别以1cm和2cm的长为半径作两个圆，
这两个圆与AB的位置关系位置关系分别为相离、相交

6. 如图,$\angle O= 30^\circ$,点M在OB上,且$OM= 5\,cm$,以点M为圆心,r为半径画圆.
(1) 讨论射线OA与$\odot M$的公共点个数,并写出r相应的取值范围;
(2) 若C是OA上一点,$OC= 5\sqrt{3}\,cm$,讨论线段OC与$\odot M$的公共点个数,并写出r相应的取值范围.

答案：
解:
(1)作MN⊥OA于N ，如图，

∵∠AOB= 30°
∴$MN=\frac 12OM=\frac 12×5=2.5$
∴当r =2.5时， M与射线OA只有一个公共点；
当0＜r＜2.5时，M与射线OA没有公共点；
当$2.5＜r\leqslant 5$时，M与射线OA有两个公共点；
当$r \gt 5$时， M与射线OA只有一个公共点
$(2)ON=\sqrt{OM^2- MN^2}= \frac {5\sqrt3}2＜5\sqrt{3}，$
∴当0＜r＜2.5时，M与线段OC没有公共点；
当r=2.5时，M与线段OC有一个公共点；
当$2.5＜r\leqslant 5$时，M与线段OC有两个公共点；
当r＞5时，M与线段OC没有公共点.