《2025年学习与评价江苏教育出版社九年级数学上册苏科版》

4. 已知$ y_{1}= x^{2}-9 $,$ y_{2}= 3-x $,当$ x $为何值时,$ y_{1}= y_{2} $？

答案： 解：由题意得$ x^2-9=3-x$
$                  x^2+x-12=0$
                (x+4)(x-3)=0
$                          x_1=-4，$$x_2=3$
∴当x=-4或3时，$ y_1=y_2$

*5. (1)小颖解一元二次方程$ x^{2}-4x+1= 0 $,得出方程的两个根是$ x_{1}= 2-\sqrt{3} $,$ x_{2}= 3+\sqrt{3} $.小亮看了一眼,就认为她做错了.
小颖说：“我已经验证过其中的一个根$ x= 2-\sqrt{3} $是正确的.”
小亮不假思索地说：“那么另一个根肯定是$ x= 2+\sqrt{3} $！”
你能说出小亮的理由吗？
(2)对于一个一元二次方程,它的一个根是$ 2-\sqrt{3} $,另一个根一定是$ 2+\sqrt{3} $吗？

答案：
解：
(1)
∵ 若方程两个根为$x_1、$$x_2$
∴$ x^2-4x+1=(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$

∴ 若其中一个根为$2-\sqrt{3}，$则要使得$x_1x_2=1，$则另一个根为$2+\sqrt{3}$
(2)不一定，只有当一元二次方程的a、b、c都为有理数时才成立

|方程|$x_{1}$|$x_{2}$|$x_{1}+x_{2}$|$x_{1}x_{2}$|
|$x^{2}+2x-15= 0$|-5|3|-2|-15|
|$3x^{2}-4x+1= 0$|$\frac{1}{3}$|1|$\frac{4}{3}$|$\frac{1}{3}$|
|$2x^{2}-5x+1= 0$|$\frac {5+\sqrt{17}}4$|$\frac {5-\sqrt{17}}4$|$\frac{5}{2}$|$\frac{1}{2}$|
根据你的观察,猜想:如果方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)的根是x_{1}$、$x_{2}$,那么$x_{1}+x_{2}= $$-\frac ba$,$x_{1}x_{2}= $$\frac ca$.
你能证明上面的猜想吗?
解：∵$x=\frac {-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
∴$x_1=\frac {-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}，x_2=\frac {-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
∴$x_1+x_2=\frac {-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac {-2b}{2a}=-\frac ba$
$x_1x_2=\frac {(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{4a^2}=\frac {b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac {4ac}{4a^2}=\frac ca$

答案： -5
3
-2
-15
$\frac{1}{3}$
1
$\frac{4}{3}$
$\frac{1}{3}$
$\frac {5+\sqrt{17}}4$
$\frac {5-\sqrt{17}}4$
$\frac{5}{2}$
$\frac{1}{2}$
$-\frac ba$
$\frac ca$
解： 
∵$x=\frac {-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
∴$ x_1=\frac {-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}，$$x_2=\frac {-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
∴$ x_1+x_2=\frac {-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac {-2b}{2a}=-\frac ba$
$x_1x_2=\frac {(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{4a^2}=\frac {b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac {4ac}{4a^2}=\frac ca$