《2025年学习与评价江苏教育出版社九年级数学上册苏科版》

5. 我们知道,方差的计算公式是：
$s^{2}= \frac {1}{n}[(x_{1}-\overline {x})^{2}+(x_{2}-\overline {x})^{2}+... +(x_{n}-\overline {x})^{2}],$
它需要计算每个数据与平均数的差,进而来展示整体数据的离散程度.
现在有这样一个式子：
$\frac {(x_{1}-\overline {x})+(x_{2}-\overline {x})+... +(x_{n}-\overline {x})}{n},$

这个式子也需要计算每个数据与平均数的差,它能否用来表示数据的离散程度呢？请你判断,并说明理由.

答案： 解：这样的做法不可行
原式$=\frac {x_1+x_2+x_3+···+x_n-n\overline{x}}{n}=\overline{x}-\overline{x}=0$
故它不能反映数据的离散程度。

A、B两支篮球队的队员身高如下(单位：cm)：
|A队|178|177|179|178|178|177|178|178|177|179|
|B队|178|177|179|176|178|180|180|178|176|178|
你能用计算器计算两支球队队员身高的平均数、方差吗？哪支球队队员的身高比较整齐？

答案： 解：$ \overline{x_A}=(178+177+...+179)÷10=177.9(cm)$
$s^2_A=\frac 1{10}×[(178-177.9)^2+(177-177.9)^2+...+(179-177.9)^2]=0.49(cm^2)$
$\overline{x_B}=(178+177+...+178)÷10=178(cm)$
$s^2_B=\frac 1{10}×[(178-178)^2+(177-178)^2+...+(178-178)^2]=1.8(cm^2)$
∵$ s^2_B>s^2_A$
∴A队的队员身高比较整齐

例 为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加科普知识竞赛,赛前对他们进行了5次培训,5次培训测试的成绩如图3-3所示.

(1)分别求甲、乙两名学生5次测试成绩的平均数、方差和极差.
(2)如果你是辅导老师,会选择哪一名学生参加这次科普知识竞赛？请说明理由.
解 (1)$\overline{x}_{甲}= 80$,$\overline{x}_{乙}= 80$,$s^{2}_{甲}= 70$,$s^{2}_{乙}= 50$,甲的极差= 25,乙的极差= 20；
(2)选择乙学生参加科普知识竞赛,因为$s^{2}_{甲}＞s^{2}_{乙}$,甲的极差＞乙的极差,而$\overline{x}_{甲}= \overline{x}_{乙}$,乙学生的成绩相对稳定.
说明 计算平均数、方差时,若数据较多又复杂,可利用计算器计算.

答案： 解：
(1)由图可知，甲五次测试成绩为：65，80，80，85，90；乙五次测试成绩为：70，90，85，75，80。
$\overline{x}_{甲}=\frac{65+80+80+85+90}{5}=80$
$s^{2}_{甲}=\frac{1}{5}[(65-80)^{2}+(80-80)^{2}+(80-80)^{2}+(85-80)^{2}+(90-80)^{2}]=70$
甲的极差$=90-65=25$
$\overline{x}_{乙}=\frac{70+90+85+75+80}{5}=80$
$s^{2}_{乙}=\frac{1}{5}[(70-80)^{2}+(90-80)^{2}+(85-80)^{2}+(75-80)^{2}+(80-80)^{2}]=50$
乙的极差$=90-70=20$
(2)选择乙学生参加科普知识竞赛，因为$\overline{x}_{甲}=\overline{x}_{乙}$，$s^{2}_{甲}＞s^{2}_{乙}$，甲的极差＞乙的极差，乙学生的成绩相对稳定。