《2025年学习与评价江苏教育出版社九年级数学上册苏科版》

4. 甲飞机以300 m/s的速度由南向北飞行,下午2:00经过A市上空;乙飞机以400 m/s的速度由西向东飞行,下午2:20经过A市上空.如果两架飞机的飞行高度相同,几点钟时两架飞机相距360 km?

答案： 解：$ 300\ \mathrm {m/s}=18\ \mathrm {km/}\ \mathrm {min}$
$ 400\ \mathrm {m/s}=24\ \mathrm {km/}\ \mathrm {min}$
设从下午2 ： 00开始，经过$t_{\ \mathrm {min}}$后，两架飞机相距$360\ \mathrm {km}$
$ [24(20-t)]^2+ ( 18t )^2 = 360^{2}$
解得$t_1= 5.6，$$ t_2= 20$
答：在下午2时5分36秒或2时20分的时候，两架飞机相距$360\ \mathrm {km}。$

5. 某军舰以每小时20 n mile(海里,1 n mile= 1852 m)的速度由西向东航行,一艘电子侦察船以每小时30 n mile的速度由南向北航行,它能侦察出周围50 n mile(包括50 n mile)范围内的目标.如图,当该军舰行至A处时,电子侦察船位于A处正南方向的B处,且AB= 90 n mile.如果电子侦察船仍按原速度沿原方向继续航行,那么航行途中电子侦察船能否侦察到这艘军舰? 如果能,最早何时能侦察到? 如果不能,请说明理由.

答案： 解：设从A处开始经过x小时，能侦察到这艘军舰
$ (20x)^2+(90-30x)^2=50^{2}$
解得$x_1=2，$$x_2=\frac {28}{13}$
答：最早经过2小时，能侦察到这艘军舰。

例1 已知关于x的方程$x^{2}-6x+m^{2}-3m-5=0$的一个根是-1,求方程的另一个根及m的值.
解 因为关于x的方程$x^{2}-6x+m^{2}-3m-5=0$的一个根是-1,所以
$(-1)^{2}-6×(-1)+m^{2}-3m-5=0$.
整理,得
$m^{2}-3m+2=0$.
解这个方程,得
$m_{1}=1$,$m_{2}=2$.
当$m_{1}=1$或$m_{2}=2$时,原方程变为
$x^{2}-6x-7=0$.
解得方程的另一个根是7.
所以方程的另一个根是7,m的值是1或2.

答案： 【解析】：
本题考查了一元二次方程的解与系数的关系及如何通过已知的根求解一元二次方程中的未知数。
题目给出了方程$x^{2}-6x+m^{2}-3m-5=0$的一个根为-1，首先将这个根代入方程中，得到一个关于$m$的一元二次方程。
通过解这个方程，可以求出$m$的值。
求得$m$后，再代入原方程，通过解原方程得到另一个根。
【答案】：
解：因为关于$x$的方程$x^{2}-6x+m^{2}-3m-5=0$的一个根是-1，
将$x = -1$代入方程，得：
$(-1)^{2} - 6 × (-1) + m^{2} - 3m - 5 = 0$
即：
$m^{2} - 3m + 2 = 0$
解这个方程，得：
$(m - 1)(m - 2) = 0$
$m_{1} = 1, \quad m_{2} = 2$
当$m = m_{1}$或$m = m_{2}$时，原方程变为：
$x^{2} - 6x - 7 = 0$
解这个方程，得：
$(x + 1)(x - 7) = 0$
$x_{1} = -1, \quad x_{2} = 7$
所以，方程的另一个根是$x = 7$，$m$的值是1或2。

例2 解关于x的方程$(m-1)x^{2}+2mx+m+3=0$.
解 当$m-1=0$,即$m=1$时,原方程即为
$2x+4=0$,
∴$x=-2$.
当$m-1≠0$,即$m≠1$时,
$b^{2}-4ac=(2m)^{2}-4(m-1)(m+3)=4(3-2m)$.
当$3-2m＞0$,即$m＜\frac{3}{2}$且$m≠1$时,方程有两个不相等的实数根,
$x=\frac{-m\pm\sqrt{3-2m}}{m-1}$.
当$m=\frac{3}{2}$时,方程有两个相等的实数根,
$x_{1}=x_{2}=-3$.
当$m＞\frac{3}{2}$时,方程无实数根.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的解的情况，包括实数根的存在性、数量以及具体求解。
首先，需要考虑一元二次方程的一般形式$ax^2 + bx + c = 0$，并理解其解的情况与判别式$b^2 - 4ac$的关系。
当$a = 0$时，方程退化为一元一次方程。
当$a ≠ 0$时，需要计算判别式$b^2 - 4ac$。
根据判别式的值，可以确定方程的根的情况：
如果判别式大于0，方程有两个不相等的实数根。
如果判别式等于0，方程有两个相等的实数根。
如果判别式小于0，方程没有实数根。
在本题中，方程为$(m-1)x^2 + 2mx + m + 3 = 0$，其中$a = m-1$, $b = 2m$, $c = m+3$。
首先考虑特殊情况$m-1=0$，即$m=1$时，方程退化为一元一次方程。
然后考虑$m-1 ≠ 0$的情况，计算判别式$b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4(m-1)(m+3)$。
根据判别式的值，确定方程的根的情况，并求解。
【答案】：
解：
当$m - 1 = 0$，即$m = 1$时，原方程即为$2x + 4 = 0$，
∴$x = - 2$。
当$m - 1 \neq 0$，即$m \neq 1$时，
$b^{2} - 4ac = (2m)^{2} - 4(m - 1)(m + 3) = 4(3 - 2m)$。
当$3 - 2m ＞ 0$，即$m ＜ \frac{3}{2}$且$m \neq 1$时，方程有两个不相等的实数根，
$x = \frac{- 2m \pm \sqrt{4(3 - 2m)}}{2(m - 1)} = \frac{- m \pm \sqrt{3 - 2m}}{m - 1}$。
当$m = \frac{3}{2}$时，方程有两个相等的实数根，$x_{1} = x_{2} = - 3$。
当$m ＞ \frac{3}{2}$时，方程无实数根。

1. 解下列方程:
(1)$x-5=(x-5)^{2}$;
(2)$3(x-2)^{2}+5=35$;
(3)$x^{2}-5x-24=0$;
(4)$4x^{2}+3x-1=0$;
(5)$(2x+1)(x-3)=-6$;
(6)$x^{2}-2\sqrt{6}x+6=0$.

答案： 解： (x-5)(1-x+5)=0
$                          x_1=5，$$x_2=6$
解：$ (x-2)^2=10$
$              x-2=±\sqrt{10}$
$        x_1=2+\sqrt{10}，$$x_2=2-\sqrt{10}$
解： (x-8)(x+3)=0
$                      x_1=8，$$x_2=-3$
解： (4x-1)(x+1)=0
$                       x_1=\frac 14，$$x_2=-1$
解：$ 2x^2-5x+3=0$
    (2x-3)(x-1)=0
$                 x_1=\frac 32，$$x_2=1$
解：$ (x-\sqrt6)^2=0$
$                x_1=x_2=\sqrt6$

2. 解方程$x^{2}-6x+9=(5-2x)^{2}$,请用不同的方法试一试.

答案： 解：$① (x-3)^2=(5-2x)^2$
                 x-3=±(5-2x)
$                 x_1=\frac 83，$$x_2=2 $
$②(x-3)^2=(5-2x)^2$
  [(x-3)+(5-2x)][(x-3)-(5-2x)]=0
        [2-x][3x-8]=0
$                   x_1=2，$$x_2=\frac 83$

3. 已知关于x的一元二次方程$(m-2)x^{2}+3x+m^{2}-4=0$有一个根是0,求m的值.

答案： 解： 将x=0代入得$\ \mathrm {m^2}-4=0，$m=±2
∵该方程为一元二次方程
∴m-2≠0
∴m=-2

4. 已知当$x=2$时,二次三项式$x^{2}-2mx+4$的值等于-4,这个二次三项式的值可能是-6吗?为什么?

答案： 解： 由题意得$4-4\ \mathrm {m}+4=-4，$m=3
∴该二次三项式为$ x^2-6x+4$
若$ x^2-6x+4=-6，$即$x^2-6x+10=0$
$ b^2-4ac=36-4×10=-4<0$
∴该方程无实数根
∴该二次三项式的值不可能是-6

*5. 解方程:$x^{2}+ax-2a^{2}=0$(a为常数).

答案： 解： (x+2a)(x-a)=0
$              x_1=-2a，$$x_2=a$

*6. 说明不论m取何值,关于x的一元二次方程$(x-1)(x-2)=m^{2}$总有两个不相等的实数根.

答案： 解：$ x^2-3x+2-\ \mathrm {m^2}=0$
$ b^2-4ac=9-4(2-\ \mathrm {m^2})=1+4\ \mathrm {m^2}$
∵$\ \mathrm {m^2}≥0$
∴$ 1+4\ \mathrm {m^2}>0$
∴该方程总有两个不相等的实数根

*7. 如何解方程$\sqrt{x+2}=x$?

答案： 解：将方程两边同时平方得$ x+2=x^2$
$ x^2-x-2=0$
(x-2)(x+1)=0
$ x_1=2，$$x_2=-1$
∵$ \sqrt{2+x}≥0，$
∴x≥0
∴x=2