《2025年学习与评价江苏教育出版社九年级数学上册苏科版》

例1 如图2-29,PA、PB是⊙O的两条切线,切点分别为A、B,OP交⊙O于点D,与AB相交于点C.
(1)写出图中除直角以外所有相等的角；
(2)写出图中所有的全等三角形；
(3)已知PA= 4cm,PD= 2cm,求半径OA的长.
分析 这个图形就是切线长性质的基本图形,可以看出整个图形是以直线OP为对称轴的轴对称图形.
解 (1)∠APO= ∠BPO= ∠OAB= ∠OBA,∠BAP= ∠ABP= ∠AOP= ∠BOP.
(2)△OAP≌△OBP,△OCA≌△OCB,△ACP≌△BCP.
(3)设OA= x cm,根据“圆的切线垂直于经过切点的半径”的性质,可得OA⊥PA.
在Rt△OAP中,由勾股定理,得
$PA^2+OA^2= OP^2,$
即$4^2+x^2= (x+2)^2.$
解这个方程,得x= 3.
所以半径OA的长为3 cm.

答案： 【解析】：
(1) 根据切线的性质和对称性，可以找出图中除直角以外的相等角。
(2) 利用全等三角形的判定条件（如SSS, SAS, ASA等）来找出图中的全等三角形。
(3) 利用勾股定理来求解半径OA的长度。
【答案】：
(1) 除直角以外，图中相等的角有：$\angle APO = \angle BPO$，$\angle OAB = \angle OBA$，$\angle BAP = \angle ABP$，$\angle AOP = \angle BOP$。
(2) 图中全等的三角形有：$\triangle OAP \cong \triangle OBP$，$\triangle OCA \cong \triangle OCB$，$\triangle ACP \cong \triangle BCP$。
(3) 设$OA = x cm$，由于$PA$是切线，所以$OA \perp PA$。在直角三角形$OAP$中，根据勾股定理，有：
$PA^2 + OA^2 = OP^2$，
即：
$4^2 + x^2 = (x + 2)^2$，
展开并整理得：
$16 + x^2 = x^2 + 4x + 4$，
进一步整理得：
$4x = 12$，
解得：
$x = 3$，
所以，半径$OA$的长为$3 cm$。

例2 如图2-30,PA、PB与⊙O分别相切于点C、B,BD是⊙O的直径,∠ACD= 40°,求∠P的度数.
分析 连接BC,∠BCD= 90°.由条件易得△PCB为等腰三角形.
解 连接BC.
由BD是⊙O的直径,得∠BCD= 90°.
而∠ACD= 40°,
∴∠PCB= 90°-40°= 50°.
又∵PA、PB与⊙O分别相切于点C、B,
∴PC= PB.
∴∠P= 180°-2×50°= 80°.
说明 利用直径构造直角三角形以及利用切线长相等构造等腰三角形都是常用的解题方法.

答案：