《2025年学习与评价江苏教育出版社九年级数学上册苏科版》

5. 如图,△ABC内接于⊙O,点D在OC的延长线上,∠B= ∠CAD= 30°.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)已知OD⊥AB,BC= 5,求AD的长.

答案： 证明：(1 )连接OA
∵∠ABC = 30°
∴∠AOC= 60°
∴∠OAC = 60°
∵∠CAD = 30°
∴∠OAD = 90°
∴AD⊥OA
∴直线AD是圆O的切线
(2)连接OB
∵OD⊥AB ， OB= OA
∴OC平分∠AOB
∴∠AOC =∠BOC
∵∠ABC=30°
∴∠AOC=∠BOC= 60°
∴△BOC是等边三角形
∴OA= BC= OB= 5
在直角△OAD中，∠ODB = 30°
∴OD= 10
∴$ AD=\sqrt{OD^2-OA^2}=5\sqrt{3}$

6. 如图,AB、AC分别与⊙O相切,切点分别为B、C,过点C作CD//AB,交⊙O于点D,连接BC、BD.
求证：BC= BD(请用两种不同的方法证明).

答案：
方法一：证明：连接OB ,并反向延长交CD于点E

∵AB与圆O相切,切点为B 
∴∠EBA= 90° 
∵CD//AB
∴∠DEB =∠EBA = 90° ,即BE⊥CD
∴CE=ED
∴BE是线段CD的垂直平分线
∴BC = BD
方法二: 证明：连接OB、OC

∵AB、AC分别与圆O相切
∴AB=AC
∴∠ABC =∠ACB 
∵∠COB+2∠OBC=180°
∴2∠D+2∠OBC=180°
∵∠ABC+∠OBC=90°
∴∠D =∠ABC
∵CD//AB
∴∠DCB=∠ABC
∴∠DCB=∠D
∴BC= BD