《2025年学习与评价江苏教育出版社九年级数学上册苏科版》

例1 已知关于$x的方程2x^{2}+kx-4= 0$的一个根是-4,求它的另一个根及$k$的值.
分析 所给方程已知$a$、$c$的值,从而可以得出两根之积;再根据求出的另一个根求出$k$的值.
解 设方程的另一个根是$x_{2}$,则
$\begin{cases} -4+x_{2}= -\dfrac{k}{2}, \\ -4x_{2}= -\dfrac{4}{2}. \end{cases} $
解方程组,得
$\begin{cases} x_{2}= \dfrac{1}{2}, \\ k= 7. \end{cases} $
所以方程的另一个根是$\dfrac{1}{2}$,$k$的值是7.
说明 本题也可以把一个根代入原方程先求出$k$的值,再求出另一个根.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系。
根据一元二次方程的根与系数的关系，若$x_1$和$x_2$是一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根，则有：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$，
对于方程$2x^2 + kx - 4 = 0$，其中$a = 2, c = -4$。
已知一个根是-4，设另一个根为$x_2$。
利用根与系数的关系，我们有：
$-4 + x_2 = -\frac{k}{2}$ （根据$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$），
$-4 \cdot x_2 = -\frac{4}{2}$ （根据$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$），
从第二个方程，我们可以解出$x_2$：
$x_2 = \frac{1}{2}$，
将$x_2 = \frac{1}{2}$代入第一个方程，我们可以解出$k$：
$-4 + \frac{1}{2} = -\frac{k}{2}$，
$k = 7$。
【答案】：
所以方程的另一个根是$\frac{1}{2}$，$k$的值是7。

例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3,它的两个根分别是$\dfrac{1}{3}$、1,写出这个方程.
分析 可以根据所给的两个根列出等式,从而求出一元二次方程.
解 设这个方程为$3x^{2}+bx+c= 0$,由一元二次方程根与系数的关系,得
$-\dfrac{b}{3}= \dfrac{1}{3}+1$,$\dfrac{c}{3}= \dfrac{1}{3}×1$.
解得$b= -4$,$c= 1$.
所以这个一元二次方程是$3x^{2}-4x+1= 0$.
说明 如果没有给出$a$的值,可以写出无数个满足条件的一元二次方程.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系。根据一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程为$ax^{2}+bx+c=0$，且其两个根为$x_{1}$和$x_{2}$，则有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$，
$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$，
题目中给出二次项系数$a=3$，两个根分别为$x_{1}=\frac{1}{3}$和$x_{2}=1$。
代入上述关系式，可以求出$b$和$c$的值。
【答案】：
设这个一元二次方程为$3x^{2}+bx+c=0$，
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$-\frac{b}{3} = \frac{1}{3} + 1$，
$\frac{c}{3} = \frac{1}{3} × 1$，
解得$b = -4$，$c = 1$。
所以这个一元二次方程是$3x^{2} - 4x + 1 = 0$。

1. 设$x_{1}$、$x_{2}$分别是一元二次方程的根,填空:
(1)$x^{2}+3x+1= 0$.
$x_{1}+x_{2}=$-3,$x_{1}x_{2}=$1.
(2)$2x^{2}-3x-5= 0$.
$x_{1}+x_{2}=$$\frac{3}{2}$,$x_{1}x_{2}=$$-\frac{5}{2}$.
(3)$x^{2}+px+q= 0$.
$x_{1}+x_{2}=$-p,$x_{1}x_{2}=$q.

答案： -3
1
$\frac{3}{2}$
$​-\frac 52​$
-p
q