《2025年学习与评价江苏教育出版社九年级数学上册苏科版》

例2 如图2-13,在$\triangle ABC$中,$AC= BC= 6\,cm$,$\angle ACB= 120^\circ$.求$\triangle ABC$的外接圆的半径.
分析 要求$\odot O$的半径,即OA或OB或OC.由于$AC= BC$,$OA= OB$,所以OC是AB的垂直平分线.由$\angle ACB= 120^\circ$,可求得$\angle ACO= 60^\circ$.从而$\triangle AOC$为等边三角形.
解 连接OA、OB、OC.
$\because AC= BC$,
$\therefore$ 点C在AB的中垂线上.
$\because OB= OA$,
$\therefore$ 点O在AB的中垂线上.
$\therefore CO$垂直平分AB.
$\because AC= BC$,
$\therefore CO平分\angle BCA$.
$\therefore \angle ACO= \frac{1}{2}\angle ACB= 60^\circ$.
又$\because OA= OC$,
$\therefore \triangle AOC$是等边三角形.
$\therefore OA= AC= 6\,cm$,
即$\triangle ABC$的外接圆的半径为6 cm.
说明 本题也可以通过$\triangle AOC与\triangle BOC$全等来证明.

答案： 【解析】：本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形外接圆的性质。
连接$OA$、$OB$、$OC$，由于$AC = BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，可知点$C$在$AB$的中垂线上；又因为$OA = OB$，所以点$O$也在$AB$的中垂线上，从而得出$CO$垂直平分$AB$。
因为$AC = BC$，所以$CO$平分$\angle BCA$，已知$\angle ACB = 120^{\circ}$，那么$\angle ACO=\frac{1}{2}\angle ACB = 60^{\circ}$。
又因为$OA = OC$，根据有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，可判定$\triangle AOC$是等边三角形，所以$OA = AC = 6cm$，而$OA$就是$\triangle ABC$外接圆的半径。
【答案】：解：连接$OA$、$OB$、$OC$。
$\because AC = BC$，
$\therefore$点$C$在$AB$的中垂线上。
$\because OB = OA$，
$\therefore$点$O$在$AB$的中垂线上。
$\therefore CO$垂直平分$AB$。
$\because AC = BC$，
$\therefore CO$平分$\angle BCA$。
$\therefore \angle ACO=\frac{1}{2}\angle ACB = 60^{\circ}$。
又$\because OA = OC$，
$\therefore \triangle AOC$是等边三角形。
$\therefore OA = AC = 6cm$，
即$\triangle ABC$的外接圆的半径为$6cm$。

1. 填空题:
(1)过一点可以作无数个圆,过两点可以作无数个圆,过不在同一条直线上的三点可以作一个圆.
(2)若三角形的外心在三角形的内部,则三角形为锐角三角形;若三角形的外心在三角形的一边上,则三角形为直角三角形;若三角形的外心在三角形的外部,则三角形为钝角三角形.
(3)在$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^\circ$,$\angle A= 30^\circ$,$BC= 1\,cm$,则$\triangle ABC$的外接圆的半径为1 cm.

答案： 无数
无数
一
锐角
直角
钝角
1