《2025年学习与评价江苏教育出版社九年级数学上册苏科版》

如果把图2-21的两幅图片中的车轮、太阳看作圆,地面、地平线看作直线,你能分别说出车轮与地面、太阳与地平线的位置关系吗?

答案： 解：如果把车轮看作圆，地面看作直线，
那么车轮与地面相切；
如果把太阳看作圆，地平线看作直线，
那么太阳与地平线相离

例1 已知$\odot O$的半径等于2cm,圆心O到直线l的距离等于3cm,试判断直线l与$\odot O$的位置关系.
分析 圆心O到直线的距离$d＞\odot O$的半径r,所以直线l与$\odot O$相离.
解 直线l与$\odot O$相离.

答案： 解：已知$\odot O$的半径$r = 2\mathrm{cm}$，圆心$O$到直线$l$的距离$d = 3\mathrm{cm}$。
因为$d = 3\mathrm{cm} ＞ r = 2\mathrm{cm}$，
所以直线$l$与$\odot O$相离。

例2 如图2-22,在$\triangle ABC$中,$AB= 5\,cm$, $BC= 4\,cm$, $AC= 3\,cm$.
(1) 若以点C为圆心,2cm长为半径画$\odot C$,则直线AB与$\odot C$的位置关系如何?
(2) 若直线AB与半径为r的$\odot C$相切,求r的值.
(3) 若直线AB与半径为r的$\odot C$相交,试求r的取值范围.
分析 要判断直线AB与$\odot C$的位置关系,只需比较圆心C到直线AB的距离与$\odot C$半径的大小.需要过点C作直线AB的垂线段CD,再由直角三角形的判定可知,$\triangle ABC$是直角三角形,其中$\angle ACB= 90^\circ$.根据三角形的面积公式,即可求出CD的长.
解 (1) 过点C作$CD\perp AB$,垂足为D.
$\because AB= 5$, $BC= 4$, $AC= 3$,
$\therefore AB^2= BC^2+AC^2$.
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形,$\angle ACB= 90^\circ$.
由三角形面积公式,得
$\frac{1}{2}AB\cdot CD= \frac{1}{2}AC\cdot BC$.
$\therefore CD= \frac{AC\cdot BC}{AB}= 2.4(cm)$.
$\because CD＞\odot C$的半径,
$\therefore$ 直线AB与$\odot C$的位置关系是相离.

(2) 直线AB与半径为r的$\odot C$相切,r的值应为2.4cm.
(3) 直线AB与半径为r的$\odot C$相交,r的取值范围应为$r＞2.4\,cm$.
说明 要判断直线与圆的位置关系,关键是要知道圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系.

答案：
(1) 解：过点C作$CD\perp AB$，垂足为D。
$\because AB=5$，$BC=4$，$AC=3$，
$\therefore AB^2=5^2=25$，$BC^2+AC^2=4^2+3^2=16+9=25$，
$\therefore AB^2=BC^2+AC^2$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，$\angle ACB=90^\circ$。
由三角形面积公式，得$\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}AC\cdot BC$，
$\therefore CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=2.4(cm)$。
$\because CD=2.4cm＞\odot C$的半径$2cm$，
$\therefore$直线AB与$\odot C$的位置关系是相离。
(2) 解：$\because$直线AB与半径为r的$\odot C$相切，
$\therefore r=CD=2.4cm$。
(3) 解：$\because$直线AB与半径为r的$\odot C$相交，
$\therefore r＞CD=2.4cm$，即$r＞2.4cm$。