《2025年学习与评价江苏教育出版社九年级数学上册苏科版》

5. 如图,有一拱形公路桥,圆弧形桥拱的水面跨度$AB= 80\ m$,拱高(弧的中点到弦的距离CD)为20m,求桥拱所在圆的半径.

答案：
解：如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，半径为r ，作ED⊥AB ，
延长交圆于点C，
则由垂径定理知，点D是AB的中点，
∴$AD= BD=\frac 12AB= 40\ \mathrm {m}$
ED= EC -CD= AE-CD
由勾股定理知$ r^2=40^{2}+ (r-20)^2$
解得r=50
故桥拱所在圆的半径为50米

6. 老师布置的一道思考题引起了小红、小明的兴趣:"已知半径为10cm的$\odot O$中有两条平行弦AB、CD,且$AB= 12\ cm$,$CD= 16\ cm$,求AB、CD间的距离."小红得到的结果是"两平行弦之间的距离为14cm",小明得到的结果是"两平行弦之间的距离为2cm".你是如何思考的？请说明理由.

答案：
解：他们都不对，两平行弦之间的距离为2cm
或14cm，理由如下：

作OE⊥AB于E ， OE交CD于F ，连接OA、OC
∴AB//CD，
∴EF⊥CD，
∴$ AE= BE=\frac 12AB= 6CF=DF=\frac 12CD=8$
在Rt△AOE中，$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=8$
在Rt△COF中，$ OF= \sqrt{OC^2-CF^2}=6$
当圆心O在AB与CD之间时，如图1，EF= OE+OF=8+6= 14 (cm);
当圆心O不在AB与CD之间时，如图2，EF=OE-OF=8-6= 2 (cm)，
综上所述， AB、CD间的距离为2cm或14cm

小明不慎把家里的圆形玻璃镜打碎了,其中四块碎片如图2-10所示.为配到与原先大小一样的圆形玻璃镜,小明应带哪块碎片到商店?

答案： 解：小明应带第②块碎片到商店

例1 如图2-11,已知A、B、C三点.作$\odot O$,使它经过A、B、C三点.

分析 作此圆的关键是确定圆心.所求的圆要经过A、B、C三点,所以圆心到这三点的距离相等.因此这个点既要在线段AB的垂直平分线上,又要在线段BC的垂直平分线上.显然这两条垂直平分线的交点到这三点的距离相等.
作法 (1)连接AB、BC;
(2)分别作线段AB、BC的垂直平分线,它们相交于点O;
(3)以点O为圆心,OB为半径作圆.
如图2-12,$\odot O$就是所求作的圆.

答案： 【解析】：
本题考查了确定圆的条件。题目要求作一个圆，使其经过已知的A、B、C三点。关键在于确定圆心的位置，因为圆心到圆上任意一点的距离都相等，所以圆心必须同时位于线段AB和线段BC的垂直平分线上。通过连接AB和BC，并分别作出它们的垂直平分线，找到这两条垂直平分线的交点O，即为所求圆的圆心。最后，以O为圆心，OB为半径作圆，即可得到经过A、B、C三点的圆。
【答案】：
解：
(1)连接AB、BC；
(2)分别作线段AB、BC的垂直平分线，它们相交于点O；
(3)以点O为圆心，OB为半径作圆。
如图2-12，$\odot O$就是所求作的圆。