《2025年学习与评价江苏教育出版社九年级数学上册苏科版》

我们可以根据圆的轴对称性和旋转不变性研究圆的性质,类似地,研究正多边形的性质也可以采用相同的思路,请画几个正多边形尝试着研究.

答案： 解:由正多边形的轴对称性我们可以得到正多边形如下的性质:垂直于正多边形的一条边的
对称轴平分正多边形的边,并且平分正多边形的中心角(正多边形每一边所对的外接圆的圆心角)
正n边形都是旋转对称图形，最小的旋转角就是$ \frac {360°}n，$也就是说,正n边形旋转$ \frac {360°}n$可以与自身重合
可以发现正多边形有如下性质:正多边形的每条边相等,正多边形的每个中心角相等

例 已知$\odot O$,作圆的内接正八边形.
分析 可以从两条途径考虑：一是利用量角器,只要将圆八等分即可;二是可以先用直尺和圆规作出正四边形,再利用"垂直于弦的直径平分这条弦及其所对的弧"这一性质,作垂直于四条边的直径来完成.
解 方法一：将圆八等分,即将圆心角$360^\circ$等分成八份,每一份为$45^\circ$,依次连接八个等分点所成的八边形就是所要求作的正八边形(图2-33).


方法二：
(1)先作两条互相垂直的直径AC、BD,依次连接AB、BC、CD、DA,得到正四边形ABCD；
(2)过圆心O分别作四条边的垂线交弧$\widehat{AB}$、$\widehat{BC}$、$\widehat{CD}$、$\widehat{DA}$于点E、F、G、H,依次连接AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA,所得到的八边形AEBFCGDH就是所要求作的正八边形(图2-34).
说明 (1)将圆八等分,就是将以圆心O为顶点的$360^\circ$圆心角八等分,利用量角器每隔$45^\circ$作一个等分点,这里根据"相等的圆心角所对的弧相等"以及"相等的弧所对的弦相等"的性质；(2)方法二依据"垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧"这一性质.

答案： 解 方法一：将圆八等分，即将圆心角$360^{\circ}$等分成八份，每一份为$45^{\circ}$，依次连接八个等分点所成的八边形就是所要求作的正八边形。
方法二：
(1) 先作两条互相垂直的直径$AC$、$BD$，依次连接$AB$、$BC$、$CD$、$DA$，得到正四边形$ABCD$；
(2) 过圆心$O$分别作四条边的垂线交弧$\widehat{AB}$、$\widehat{BC}$、$\widehat{CD}$、$\widehat{DA}$于点$E$、$F$、$G$、$H$，依次连接$AE$、$EB$、$BF$、$FC$、$CG$、$GD$、$DH$、$HA$，所得到的八边形$AEBFCGDH$就是所要求作的正八边形。